z^3 * sin(1/z)のローラン展開

質問

z^3 * sin(1/z)を(z=0)てローラン展開したいのですが、わかりません。
普通のものはできるのですが（ちゃんと理解できてませんが）、三角関数が入ってくると全くわからなくなってしまいました。

0<= z <= ∞の範囲では
z^3 * Σ { (-1)^(n-1) * z^(2n-1) } / (2n+1)!
になるのはわかるのですが、
n<0の範囲の値をどう求めたらいいのかわかりません。

ご存じの方がいれば教えて頂けるとうれしいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

sin(z)=z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!+z^9/9!+...
sin(1/z)=1/z-1/(3!*z^3)+1/(5!*z^5)-1/(7!*z^7)+1/(9!*z^9)+....
=z^(-1)-(1/3!)*z^(-3)+(1/5!)*z^(-5)-(1/7!)*z^(-7)+(1/9!)*z^(-9)+....
z^3*sin(1/z)=z^2-1/3!+(1/5!)*z^(-2)-(1/7!)*z^(-4)+....
=z^2-1/6+(1/120)*z^(-2)-(1/5040)*z^(-4)+(1/362880)*z^(-6) +....
=Σ[n=1,∞] { (-1)^(n-1) * z^(4-2n) } / (2n-1)!