ローラン展開

質問

次の関数の()内の点を中心とするローラン展開を求めよ
{(z-1)^3}e^{1/(z-1)} (1)
解答・・・(z-1)^3 + (z-1)^2 + (z-1)/2! + 1/(3!)+…+1/{n!(z-1)^(3-n)}+…

という問題にて、(z-1)^3　はz=1にて正則で無いため、
(z-1)^3 * (e^{1/(z-1)}のテイラー展開)　　
を計算しようと思ったのですが、e^{1/(z-1)}もz=1で正則ではありません

そこで、e^z=1+z+(z^2)/2! + (z^3)3!+・・・+4/(n!)+…のzを1/z-1
に置き換え、
e^{1/(z-1)}=1+{1/(z-1)} + 1/(2!){1/(z-1)}^2 +…+1/(n!){1/(z-1)}^n　としたところ、解答にはたどり着きました

しかし、e^z=1+z+(z^2)/2! + (z^3)3!+・・・+4/(n!)+…
はe^zのz=0を中心としたテイラー展開であり、なぜ解答に辿り付けたのか混乱しています

ご教授、お願いします

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>という問題にて、(z-1)^3　はz=1にて正則で無いため、
z=1で正則ですね
それはさておき
z-1だとみにくいのでzにします
平行移動するだけですので展開に問題はおきません
（もちろん「正則」なところで動かします）

すなわち
「z^3 exp(1/z) の z=0 でのローラン展開を求めよ」
です
そして，exp(1/z) のローラン展開を求めれば z^3 をかければよいので
exp(1/z)だけを考えます

次に
exp(Z)ですが，これは「どんなときでも」
1 + (1/1!)Z + (1/2!)Z^2 + ・・・ + (1/n!) Z^n ＋・・・
なんです．「どんなときでも」です
ですので，Zに 1/z をいれれば「展開」できます．
ここでこっそり使ってるのは
「展開の一意性」です．
つまり
「手段を選ばずとにかく「正しく」展開できればそれが答え」
です．

まじめにするならば，
ローラン展開の公式にきっちり当てはめたって
出てきますよ．

補足

＞(z-1)^3　はz=1にて正則で無いため、
これは何か勘違いしていたようです　失礼しましたorz
exp{1/(z-1)} のz=1（exp(1/z) の z=0 ）にて正則でないので、どうなるんだろう、と思ったのですが、

>exp(Z)ですが，これは「どんなときでも」
>1 + (1/1!)Z + (1/2!)Z^2 + ・・・ + (1/n!) Z^n ＋・・・
>なんです．「どんなときでも」です

どんな時でもこうなるから気にするな！といった感じで良いのでしょうか

また、ローラン展開は正則でない点を持たない項？をテイラー展開、と覚えていたのですが、この場合はexpがどんなときでも・・・
なので、そちらをテイラー展開、という考え方でよいのでしょうか？