ローラン展開について

質問

複素関数 f(z)=(2Z^2+5Z+2)/(2Z^2-5Z+2)　を領域1/2<｜Z｜＜2　における関数としてZ＝０のまわりのローラン展開を求める問題がわかりません。
解き方のコツやポイントなどを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

おっと。
f(z) = 1 + Σ[k=1→∞](10/3)(2^k - 2^-k)z^k
と書いた方がよかった。

回答No.2

alice_44

f(z) の z=0 を中心とするローラン展開は、
f(z)・(z-0)^m が z=0 で正則になるような m が
存在する場合（0 が f の極である場合）には、
そのような m の最小値（極の位数）を求めて
f(z)・(z-0)^m をテイラー展開すればよい。
最後に、両辺を (z-0)^m で割る。

m をどんなに大きくしても f(z)・(z-0)^m が
正則にならない場合（0 が真性特異点の場合）は、
こうやればローラン展開できるという決まった
手順は無く、個々の f について工夫が必要だし、
かなり難しい場合も少なくない。

質問の例では、f(z) が z=0 において正則なので、
0 中心のローラン展開はテイラー展開と一致する。

普通に累次微分して定義どおりに構成してもよいが、
f(z) = (2z^2+5z+2)/(2z^2-5z+2)
= 1 - (10/3)/(2z-1) + (20/3)/(z-2)
と部分分数分解して、
等比級数の公式 1/(1-2z) = Σ[k=0→∞](2z)^k,
1/(z-2) = (-1/2)/(1-z/2) = (-1/2)Σ[k=0→∞](z/2)^k
から
f(z) = 1 + (10/3)Σ[k=0→∞](2z)^k + (20/3)(-1/2)Σ[k=0→∞](z/2)^k
= 1 + (10/3)Σ[k=0→∞]{(2z)^k - (z/2)^k}
= 1 + (10/3)Σ[k=1→∞](2^k - 2^-k)z^k
とするのが簡単かもしれない。

上記ふたつの等比級数の収束域が
|2z| < 1 かつ |z/2| < 1 であることから、
この「ローラン展開」は |z| < 1/2 でしか収束しない。
1/2 < z < 2 で収束する展開にするためには、
展開中心を z= 1/2 または z = 2 に置く必要がある。

回答No.1

info22_

分母=0から極はz=1/2,2
この極を除くためf(z)を「領域1/2<｜Z｜＜2　における関数」としています。
z=0が特異点（極）でないため、ローラン展開はマクローリン展開（高校数学で習う範囲）と同じになります。
マクローリン展開の展開公式に係数を計算して代入するだけです。

f(z)=1+5z+(25/2)z^2+(105/4)z^3+(425/8)z^4)+...