exp(2z)*(z-1)^-3 をz=1を中心としてローラン展開せよ、という問題がわかりません。

質問

ローラン展開についての質問です。
exp(2z)*(z-1)^-3 をz=1を中心としてローラン展開せよ、という問題がわかりません。
この問題の解答がexp(2)*(z-1)^(-3)*Σ_{n=0}^{∞}(1/n!)*{z*(z-1)}^nなのですが、計算が合いません。
参考書などを見て、同じようにやっているはずなのですがわかりません。
また、私のところでは留数定理より先にローラン展開を定義しています。

教えて下さい。お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

exp(x+2)のマクローリン展開を求めると
exp(x+2)=exp(2){1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+(x^4)/4!+...}
x+2=2zおくとx=2(z-1)
exp(2z)
=exp(2){1+2(z-1)+(2^2)((z-1)^2)/2!+(2^3)((z-1)^3)/3!+(2^4)((z-1)^4)/4!+...}
exp(2z)(z-1)^(-3)
=exp(2){(z-1)^(-3)}{1+2(z-1)+((2^2)/2!)(z-1)^2+((2^3)/3!)(z-1)^3
+((2^4)/4!)(z-1)^4 + ...
=exp(2){(z-1)^(-3)}Σ_{n=0,∞}(1/n!)*{2(z-1)}^n

なお、解答の式に誤植がありますね。2がzに化けています。

お礼

ありがとうございます。やっぱり解答の方が間違っていたのですね。
ローラン展開は初めてだったので、ただテイラー展開の形に持っていくだけではダメなのかと思いました。

回答No.3

alice_38

No.1 です。
先頭の exp(2) のことを言っているのなら、
実際に、(d/dx) exp(2x) [x=1] とか、
(d/dx)~2 exp(2x) [x=1] とか、
何個か計算してみれば解るでしょう。

2 と z のミスプリ？
ウォーリーを探せじゃないんだから…

お礼

ありがとうございます。ローラン展開に慣れていないもので、戸惑ってしまいました。

回答No.1

alice_38

e~(2z) を、z=1 中心にテイラー展開するだけですが、
どの辺が難しいですか？

お礼

解答ありがとうございます。
私もそう思ったのですが、exp(2z)をz=1を中心にテイラー展開すると、
Σ_{n=0}^{∞} (1/n!)*{2*(z-1)}^n になるような気がします。これが間違っているのでしょうか？