ローラン展開について

質問

１/（ｚ＾２＋１）のｚ＝i　を中心とするローラン展開（｜ｚ－i｜＜２）の問題について、
係数は微分で求めるしかないのでしょうか？
助言をお願いしたいです、よろしくお願いします。

回答No.4

rnakamra

#3のものです。
初めのところの部分分数分解の係数が間違っていたので修正します。

1/(z^2+1)=1/{(z-i)(z+i)}=1/(2i)/(z-i)-1/(2i)/(z+i)

です。
それに伴い修正が必要な箇所があります。

回答No.3

rnakamra

部分分数分解しましょう。

1/(z^2+1)=1/{(z-i)(z+i)}=(1/2)/(z-i)-(1/2)/(z+i)

第1項のz=iを中心としたローラン展開はそのまま(1/2)/(z-i)です。

第2項は次のように変形しましょう。(繁雑になるため係数の-1/2は省略)
1/(z+i)=1/{(z-i)+2i}={1/(2i)}/{1+(z-i)/(2i)}

ここで|z|<1における1/(1+z)のz=0を中心としたテーラー展開が
1/(1+z)=1-z+z^2-z^3+...
となることを利用すれば　1/{1+(z-i)/(2i)}　も簡単に展開できます。

回答No.2

info22_

f(z)=1/(z^2+1)=1/((z+i)(z-i))
なので
f(z)=g(z)/(z-i)
g(z)=1/(z+i)=(z+i)^(-1)をz=iの周りにテイラー展開してやります。
g(i)=1/(2i)=-i/2
g'(z)=(-1)(z+i)^(-2),g'(i)=(-1)/(2i)^2=1/4
g''(z)=((-1)^2)2!(z+i)^(-3),g''(i)=2!/(2i)^3=i2!/2^3
g'''(z)=-3!(z+i)^(-4),g'''(i)=-3!/(2i)^4=-3!/2^4
…

g(z)=g(i)+g'(i)(z-i)+g''(i)(z-i)^2/2!+g'''(i)(z-i)^3/3! + …
f(z)=g(z)/(z-i)
=(1/(2i))/(z-i)+(1/4)+(i/2^3)(z-i)-(1/2^4)(z-i)^2+ …
= …　　　　　　←　後は式を整理するだけですのてやって下さい。

回答No.1

Tacosan

最終的に
Σ a_k (z-i)^k
という形にすればいいんだから,
1/(z^2+1) で z-i = w と変数変換→べき級数展開
でいいんじゃね?