ローラン展開を教えて下さい

質問

複素関数f(z)=1/(z^3(1-2z))がありまして、領域0<|z-1/2|<1/2でのz=1/2まわりのローラン展開を求めたいのですが、答えがうまく出せません。
私のやった方法を書きます。

z-(1/2)＝ωに置き換える。これをf(z)に代入すると、-1/2ω × 1/(ω+1/2)^3になる。（(1)式と置きます）
そして1/(ω+1/2)^3のほうの展開を考えてみます。

1/(ω+1/2)^3＝1/2×二回微分{1/(ω+1/2)}なので、
1/(ω+1/2)^3＝1/2×二回微分｛2/(2ω+1)｝＝二回微分{1/1+2ω}

ωの範囲は|ω|<1/2だったから2ωの範囲は|2ω|<1（ここが間違い？）

従って、1/(ω+1/2)^3＝二回微分{1/1+2ω}＝Σ二回微分｛(-1)^n*(2ω)^n｝（Σの範囲は0から∞）＝実際に中身を二回微分していくと、＝Σ(-1)^(n+2)*4(n+1)(n+2)(2ω)^n（Σの範囲は0から∞）

あとはこれを(1)にぶち込む。

ここまででどこか勘違いしているところはありますか？一応自分なりに考えても間違え見つかりませんので教えてほしいです！宜しくお願いいたします。

二回微分はd^2/dω^2と読み替えてください・・

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

> f(z)=1/(z^3(1-2z))
=-(1/2)*1/((z^3)(z-(1/2)))
g(z)=1/z^3,g(1/2)=2^3=2!*2^2=8
g'(z)=-3/z^4,g'(1/2)=-3*2^4=(-1)*3!*2^3=-48
g''(z)=(-3)(-4)/z^5=(-1)^2*4!/(2z^5),g''(1/2)=(-1)^2*4!*2^4=384
g'''(z)=(-1)^3*5!/(2z^6),g'''(1/2)=(-1)^3*5!*2^5=-3840
...
g^(n)(z)=(-1)^n*(n+2)!/(2z^(n+3)),g^(n)(1/2)=(-1)^n*(n+2)!*2^(n+2)
...
g(z)のマクローリン展開
g(z)=g(1/2)+g'(1/2)(z-(1/2))+(1/2!)g''(1/2)(z-(1/2))^2
+(1/3!)g'''(1/2)(z-(1/2))^3+ ...
+(1/n!)g^(n)(1/2)(z-(1/2))^n+ ...
=8-48(z-(1/2))+192(z-(1/2))^2-640(z-(1/2))^3+ ...
+ (-1)^n*((n+2)!/n!)*2^(n+2)*(z-(1/2))^n + ...
ローラン展開は次の通り。
1/(z^3*(1-2z))=-(1/2)*(1/z^3)*(z-(1/2))^(-1)
=-4/(z-(1/2))+24-96(z-(1/2))+320(z-(1/2))^2+ ...
+ (-1)^(n+1)*((n+2)!/n!)*2^(n+1)*(z-(1/2))^(n-1) + ...

回答No.1

hugen

ＯＫ

お礼

間違ってはいないってことですか？？