ローラン展開について

質問

はじめまして。
ローラン展開についてお尋ねしたいのですが、
たとえばf(z)=z^3sin(1/z)を0<｜z｜<Rでローラン展開するとき、
sinζ＝ζー（ζ^3/3!）+ζ^5/5!・・・
とテイラー展開し、ζ＝1/zと置いてやると、ローラン展開は
f(z)=Z^3sinζとなるのがわからないのです。
具体的にはζをなぜ1/zとおくのか、
またなぜその結果ローラン展開がsinζにz^3をかけたものに
なるのかがわかりません。

何か根本的なことがわかっていないのでしょうか。
ローラン展開はテイラー展開のnを-∞から+∞にしたものだ
という認識なのですが

回答No.1

yaksa · ベストアンサー

>具体的にはζをなぜ1/zとおくのか、
>またなぜその結果ローラン展開がsinζにz^3をかけたものに...

何がわからないのかが、よく分かりませんが。

sinζ＝ζー（ζ^3/3!）+ζ^5/5!・・・
なんだから、ζ＝1/zと置けば、(z≠0)
sin(1/z) = (1/z)ー（(1/z)^3/3!）+(1/z)^5/5!・・・
それに、z^3をかけただけ、てことじゃないの？

とりあえず、z=0は孤立特異点なんでローラン展開が可能なことは分かってるんで、あとは、なんとかして適当にそれらしいものを求めればＯＫってことです。

もちろん、コーシーの定理
<img src="http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?5$a_n=\frac{1}{2\pi}\oint\frac{f(z)}{z_{n+1}}dz">
を直接計算してもいいにはいいけど。
（タグ使えるかテスト。だめだったっら参考URL。）

参考URL：

http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?7$a_n=\frac{1}{2\pi}\oint\frac{f(z)}{z_{n+1}}dz

お礼

2年たってようやくわかりました。ありがとうございました。