位相 初心者です。

質問

「AとBが位相空間Xの開集合ならば、A×Bは直積位相空間X＾2の
開集合である。」
上記の内容は、定義ですか、それとも定理ですか。

定理であれば、証明の考え方を教えてください。

回答No.2

gururinbus

直積位相空間X＾2の位相の定め方によると思います。

位相空間Xの位相を♀とするとき、
直積位相空間X＾2の位相♂を次のように定めれば、

「AとBが位相空間Xの開集合ならば、A×Bは直積位相空間X＾2の
開集合である。」

は直ちに出てくることだと思います。

♂＝{C|∃A,B∈♀ s.t. C=A×B}
よってこの場合、「」の内容は♂の定義から直ちに出てくることであって、「」の内容は定義ではないと思います。

しかし、X＾2→Xへの射影f,gを考え(fは第一成分への射影でgは第二成分への射影)、♂をf,gが連続となるようなX＾2における最弱の位相と
約束すれば、「AとBが位相空間Xの開集合ならば、A×Bは直積位相空間X＾2の開集合である。」はあまり明らかなこととは思えません。(多分、成り立つと思うけど＾＾；)

いずれにせよ、「」の内容は定義ではなくX＾2の位相♂の定義から出てくることだと思います。

回答No.1

kabaokaba

>上記の内容は、定義ですか、それとも定理ですか。

直積空間 X x X には，
「Aの開集合とBの開集合の直積」からなる集合を
開集合の基として，位相を入れることがあります．
直積空間の位相のこの定義を理解すれば，
「上記の内容」は定義そのものです．

ただし，直積空間の位相を違う方法で
導入しているのであれば，
「上記の内容」は定理になります．

例えば，直積集合から各要素の集合への
射影が連続となるような最小の位相を直積集合に導入した場合，
最終的には同じ位相になるのですが，同じになることは
証明対象になりますので，「上記の内容」は定理です．

位相空間の初歩でやっかいなのは
同じことを定義するのに複数の流儀があり，
ある流儀では定義なのに，
ある流儀では証明対象になることが
しょっちゅうあることです．
けど，そのうちに慣れてきて，自分の目的にあう定義を
採用できるようになりますし，どれを使っても同じだということも
だんだんわかってきます．