位相空間（入門レベル）

質問

次の問題の証明がわかりません。

問.位相空間（X,T）の2つの部分集合A、Bについて、
　 Aが開集合のとき、
　　　　　　　　　　A∧B￣　⊂（A∧B）￣　
　が成り立つことを証明せよ。

いくつかの参考書を見て、以下の回答例があったのですが、

　ｘ∈A∧B￣ とし、A’をｘを含む任意の開集合とすれば、
　A∧A'もｘを含む開集合で、
　ｘ∈B￣であるためには （A∧A'）∧B≠Φ でなければならない。
　すなわち、A'∧（A∧B）≠Φ である。
　したがって、　　
　　　　　　　ｘ∈（A∧B）￣

この内容は理解できるのですが、証明として、4行目の「≠Φ でなければならない」が何となく気になります。（うまく伝えられないのですが）この回答は適当（ふさわしい）ですか。

回答No.1

algebrer · ベストアンサー

4行目は「x∈B￣⇒（A∧A'）∧B≠Φ 」ということであり、閉包の性質「x∈B￣⇔xの任意の開近傍Uに対してB∧U≠Φ」より言えることなので適切だと思います。
必要条件ということに混乱されたんでしょうか？