ベストアンサー 数学の位相の問題が分かりません。詳しい方、教えてください。 2009/12/15 21:36 数学の位相の問題が分かりません。詳しい方、教えてください。 ハウスドルフ空間において、一点だけからなる集合は閉集合となることを示せ。 みんなの回答 （6） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Caper ベストアンサー率33% (81/242) 2009/12/19 05:30 回答No.6 ● 下記の Web ページ によりますと、「 閉包 」についての知識を freedomdn さん はすでにお持ちなのかもしれませんね。 http://okwave.jp/qa5476166.html 「 閉包 」という語を用いてもよいのでしたら、次のような証明のしかたもあろうかと、私は思います。 ● 任意に選んだ 1つ の Hausdorff 空間 において、任意に選んだ 1つ の点を x と表わすことにします。 「 {x} が閉集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示せばよいと、私は思います。 「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』から任意に選んだ 1つ の点 y が『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) に含まれる (*) 」ということを示せばよいと、私は思います。 (*) これとともに、「『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) から任意に選んだ 1つ の点が『 {x} の補集合』に含まれる 」ということも示す必要がありましょう。ですが、それは 内部 ( もしくは、開核 ) の定義より明らかなことであると、私は思いました。よって、それを示すことを私は省きました。 ● x と y は同じ Hausdorff 空間 上の点です。そして、y は「 {x} の補集合 」から任意に選んだ 1つ の点ですから、y は x と異なる点です。ゆえに、y を含むけれども x を含まない開集合が存在します。その開集合を V と表わすことにします。 ゆえに、{x} は 開集合 V に含まれません。すなわち、{x} は「 V の補集合 」に含まれます。 {x} ⊆ (V の補集合) ところで、V は開集合ですから、「 V の補集合 」は閉集合になります。そして、閉包 ( もしくは 触集合 ) の定義により、「 {x} の閉包 」は「 V の補集合 」に含まれます。 ({x} の閉包) ⊆ (V の補集合) ゆえに、y は「 {x} の閉包 」に含まれることはありません。換言すれば、y は「『 {x} の閉包 』の補集合 」に含まれます。内部 ( もしくは 開核 ) と 閉包 ( もしくは 触集合 ) にかかわる定理により、「『 {x} の閉包 』の補集合 」は「『 {x} の補集合 』の内部 」と同じです。 ゆえに、y は「『 {x} の補集合 』の内部 」に含まれます。 ● ( 繰り返しになりますが … 、) もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (5) koko_u_u ベストアンサー率18% (216/1139) 2009/12/18 22:48 回答No.5 質問者からの補足からは、近傍とか、内部とか、そういったものはすべて派生的な概念であると読み取れます。 ANo.2 氏の方針がもっとも単純かつ明瞭だと思われます。 またその証明からハウスドルフ空間であることは条件として「強すぎる」ことも明らかです。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 Caper ベストアンサー率33% (81/242) 2009/12/18 12:14 回答No.4 ●「 近傍 」という概念を用いないで、Hausdorff 空間 が定義されているのですね。でしたら、証明は次のようになるのではないでしょうか。 ● 任意に選んだ 1つ の Hausdorff 空間 において、任意に選んだ 1つ の点を x と表わすことにします。 「 {x} が閉集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示せばよいと、私は思います。 「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』から任意に選んだ 1つ の点 y が『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) に含まれる (*) 」ということを示せばよいと、私は思います。 (*) これとともに、「『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) から任意に選んだ 1つ の点が『 {x} の補集合』に含まれる 」ということも示す必要がありましょう。ですが、それは 内部 ( もしくは、開核 ) の定義より明らかなことであると、私は思いました。よって、それを示すことを私は省きました。 ● x と y は同じ Hausdorff 空間 上の点です。そして、y は「 {x} の補集合 」から任意に選んだ 1つ の点ですから、y は x と異なる点です。ゆえに、y を含むけれども x を含まない開集合が存在します。その開集合を V と表わすことにします。 ゆえに、{x} は 開集合 V に含まれません。すなわち、{x} は「 V の補集合 」に含まれます。 {x} ⊆ (V の補集合) これと、補集合にかかわる定理により、「 {x} の補集合 」は「『 V の補集合 』の補集合 」を含むことになります。なお、「『 V の補集合 』の補集合 」は V と同じです。 ({x} の補集合) ⊇ V これと、内部 ( もしくは、開核 ) の定義およびそれにかかわる定理により、「『 {x} の補集合 』の内部 」は「 V の内部 」を含みます。 (({x} の補集合) の内部) ⊇ (V の内部) さらに、V は開集合ですから、内部 ( もしくは、開核 ) の定義およびそれにかかわる定理により、「 V の内部 」と V は同じになります。ゆえに、「『 {x} の補集合 』の内部 」は V を含みます。 (({x} の補集合) の内部) ⊇ V y は V に含まれます。ゆえに、y は「『 {x} の補集合 』の内部 」に含まれます。 ● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 Caper ベストアンサー率33% (81/242) 2009/12/17 12:31 回答No.3 ● 任意に選んだ 1つ の Hausdorff 空間 において、任意に選んだ 1つ の点を x と表わすことにします。 「 {x} が閉集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示せばよいと、私は思います。 「『 {x} の補集合 』が開集合である 」ということを示すには、「『 {x} の補集合 』から任意に選んだ 1つ の点 y が『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) に含まれる (*) 」ということを示せばよいと、私は思います。 (*) これとともに、「『 {x} の補集合 』の 内部 ( もしくは、開核 ) から任意に選んだ 1つ の点が『 {x} の補集合 』に含まれる 」ということも示す必要がありましょう。ですが、それは 内部 ( もしくは、開核 ) の定義より明らかなことであると、私は思いました。よって、それを示すことを私は省きました。 ● x と y は同じ Hausdorff 空間 上の点です。そして、y は「 {x} の補集合 」から任意に選んだ 1つ の点ですから、y は x と異なる点です。ゆえに、x を含まない y の近傍が存在します。その近傍を V と表わすことにします。 ゆえに、{x} は 近傍 V という集合に含まれません。すなわち、{x} は「 V の補集合 」に含まれます。 {x} ⊆ (V の補集合) これと、補集合にかかわる定理により、「 {x} の補集合 」は「『 V の補集合 』の補集合 」を含むことになります。なお、「『 V の補集合 』の補集合 」は V と同じです。 ({x} の補集合) ⊇ V これと、内部 ( もしくは、開核 ) の定義およびそれにかかわる定理により、「『 {x} の補集合 』の内部 」は「 V の内部 」を含みます。 (({x} の補集合) の内部) ⊇ (V の内部) ところで、V は y の近傍 ですから、y は「 V の内部 」に含まれます。ゆえに、y は「『 {x} の補集合 』の内部 」に含まれます。 ● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 kabaokaba ベストアンサー率51% (724/1416) 2009/12/15 22:02 回答No.2 その一点以外のすべての点の十分小さい開近傍をとって すべての和集合をとるとどーなる？ 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 koko_u_u ベストアンサー率18% (216/1139) 2009/12/15 21:47 回答No.1 ハウスドルフ空間と閉集合の定義を補足にどうぞ 質問者 補足 2009/12/18 09:54 Ｘを位相空間とする.Ｘ上の任意の異なる２点x,y∈Ｘに対し、二つの開集合Ｕ,Ｖで x∈Ｕ, y∈Ｖ かつ Ｕ∩Ｖ＝φ となるものが存在するとき、Ｘをハウスドルフ空間という. 位相空間Ｘの部分集合Ｆは、その補集合Ｘ－Ｆが開集合となるとき、閉集合という. 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 位相数学について再び質問です http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2686308.htmlで質問したものです。 また自分なりに考えた解答を添削＆教えてください。 問１－１）（X、Ox）(Y,Oy)を位相空間とする X × Yの直積位相とは何か？ これがさっぱりわかりません。 問１－２）XとYがハウスドルフ空間ならば、X × Yもハウスドルフ空間であることを示せ。 これもさっぱりです。たぶん問１－１を使うと思います。 問２）（X、ｄ）を距離空間とする 距離ｄの定めるXの位相Oｄの定義とはなにか？ これもわかりません、どういう意味でしょうか？位相Oｄが距離空間の定義を満たすということでしょうか？ 問３）Xがコンパクトで、A⊂Xが閉集合ならAもコンパクトであることをしめせ。 Xがコンパクトだから、Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる。ここまではいいと思います。たぶんAがコンパクトでないと仮定して矛盾を示すと思います。これ以上がどうしてもわからないです。 位相数学（ハウスドルフ空間と点列の極限）についてです。 位相数学についてです。 ハウスドルフな位相空間の任意の点列の極限は一意的というのは、分離公理からすぐ言えるのですが、逆に任意の点列の極限が一意的ならハウスドルフであるということはいえるのでしょうか？ よろしくお願いします。 位相空間の本で 読んでいてあまりわからない所が２点ありまして、 １．XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れると、 Xの部分集合Cがコンパクト ⇔ Cが有限集合 という部分と、 ２．Xをコンパクトハウスドルフ空間、Yをハウスドルフ空間とするとき、 写像ｆ：X→Yが全単射連続なら逆像ｆ-1：Y→Xも連続になる という部分に疑問が残りました。 １．については、コンパクト⇒閉集合であることや、Cが有限集合なら有限個の開被覆で覆えるからコンパクトである、ということが使える（？）のではじめの「XにXのすべての部分集合を開集合とする位相を入れる」部分が必要ないのではないかとも思うのですが・・・ ２．については、Xがコンパクトハウスドルフ空間ならその部分集合Cもコンパクトでその写像はやっぱりコンパクトで・・・その逆像もコンパクトで・・・・？ どこから連続の議論に持っていけばよいのかが分かりませんでした。 「証明は読者に委ねよう」というお得意の言い回しで飛ばされてしまっていて、なんだか消化不良のままです＞＜ ご返答よろしくお願い致します。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム ２つの位相多様体の直積空間は位相多様体になる。 Mをm次元位相多様体とする。Nをn次元位相多様体とする。このとき、直積空間M×Nは(m+n)次元位相多様体であることを示せ。 ハウスドルフ空間の直積空間もまたハウスドルフ空間であるという事実は、既知として利用して下さって差し支えありません。ご助力お願いいたします。 商位相空間 X=R^n+1-(0,0,…,0)のおいて(x0,…,xn)～(λx0,…,λxn)(λ≠0)により 関係～をX上に定義する。 (a)～が同値関係になることを示せ。 (b)商位相空間X/～をRP^ｎと表し、n次元実射影空間という。 RP^ｎがハウスドルフ空間であることを示せ。 (a)に関しては問題が曖昧な気がするのですが…。 これは (x0,…,xn)～(y0,…,yn)⇔∃λ≠0 s.t.(y0,…,yn)=(λx0,…,λxn) ということでいいのですか？ (b)ですがハウスドルフ空間の定義は X上の任意の異なる二点x,y∈Xに対して二つの開集合U,Vで x∈U、y∈VかつU∩V=φとなるものが存在する。 ということですよね。 商位相空間X/～はどのような位相空間になるのでしょうか？ 位相空間 正規空間⇒正則空間⇒ハウスドルフ空間 が成り立つことを教えてください。 また、Ｔ3空間であるが、Ｔ1空間でない位相空間の例。 Ｔ4空間であるが、Ｔ1空間でない位相空間の例を教えてくださいm(__)m わかるところだけでもよいのでお願いします！！！！ 位相 数学科２年のものです。 位相空間についての授業が始まったのですが、演習問題で、わからない問題があります。 初歩的な問題かもしれませんが、どなたか解答お願いします。 集合S＝｛１，２，３，４｝に部分集合族Lを L＝｛Φ、｛１｝、｛１，２｝｛１，３｝｛１，２，３｝、S｝ により与える。Sの部分集合｛１，２，４｝をTとおく。 (1)（S,L）は位相空間であることを示せ。 (2)位相空間（S、L）においてTの内部を求めよ。 (3)位相空間（S、L）においてTの閉包、境界を求めよ。 特に(1)の位相空間の定義の、「Lに属する任意個の和集合がLに属すること」の確認の仕方に自信がないので、お願いします。 n次元球面はｎ次元位相多様体であることを示せ。 S^n={x∈R^(n+1)│∥x∥=1} はn次元位相多様体となることを示せ。 S^nはn次元球面 R^(n+1)は(n+1)次元数空間 多様体の勉強をしています。「位相空間Mがハウスドルフ空間であり、なおかつMの任意の点pについて、pを含むm次元座標近傍(U,φ)が存在するとき、Mはm次元位相多様体である」という定義はわかっているのですが、証明ができません。 R^(n+1)がハウスドルフ空間であること、ハウスドルフ空間の部分空間もまたハウスドルフ空間であるという知識は既知として使っていただいてかまいません。（はずかしながら、座標近傍の存在を示すプロセスが思いつかないのです。） 集合と位相 位相空間Ｘ、Ｙの間の２個の連続写像が稠密な部分集合の上で一致すれば２個の写像は等しい。という命題なのですがＹがハウスドルフ空間という条件がないので正しくないということまではわかりました。あと反例も探しているのですがイメージがよくわかなくて反例がわかりません。Ｘ、Ｙと二個の連続写像それぞれに具体的なものを当てはめるのですか？助けてください わからない教えてください。位相数学 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2672839.htmlで質問したものです。位相数学でわからないことがあります。教えてください 松坂和夫の集合・位相入門（４４刷）の第4章についてわかりません。 甲） ｐ１５２にこんなことが書いてあります。ただ、ここにQに似た文字が出てきて、Qを横にしたものがでてきます。いかこのQをよこ向きにしたものをQと表記します。またфの表記は本当はこれではありません。なんかみたことない記号です。似ているこのфで代用します。φは空集合のきごうです。 Sを一つの空でない集合とする。Sの部分集合系（すなわちф（S）の部分集合系）が次の3条件をみたすとき、QはSにひとつの位相構造を定める。あるいは簡単に、QはSにおける一つの位相であるという。 Oⅰ）S∈Qおよびφ∈Q Oⅱ）Ο１∈Q、Ο２∈QならばΟ１∩Ο２∈Q Oⅲ）（Ολ）λ∈∧ をQの元からなる任意の集合族（すなわち、添数集合∧は任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈∧に対してΟλ）とすれば∪Ολ∈Q と表記されています。なおΟλというのはΟλのλは添え字でちっちゃいです。Ο１も同様に数字は添え字です。正直書いてある意味がわかりません。これは定義だとおもうのですが。考えたのですが、前の質問の ”空でない集合Xの位相Oとはなにか”でXがSに対応して、OがQに対応するんですか？ 乙） （S、Q）を一つの位相空間とする。以下これをSと書く。この位相空間の閉集合系をΨとする。 Q∩Ψ＝｛S、φ｝であるとき、位相空間Sは連結である。と明記されていますが、これも意味がわかりません。 この二つの事柄について教えてもらえないでしょうか？具体的な事例を示してもらえれば納得できるかも。 数学、位相について 次の証明がよく分かりません。分かる方教えてください。 (Х,О)を位相空間、АをХの部分空間とするВ⊂Аが与えられたとき、ВのХの部分集合としての相対位相О1とАの部分集合としての相対位相О2は一致することを示せ。 方針から教えていただけるとありがたいです。 位相の問題です。 位相の問題です。 (X,Q)、(X,Q'):位相空間 X×Y={(x,y)｜x∈X,y∈Y} Qx×y:=U×V{U∈Q,V∈Q'の形の任意個のX×Yの部分集合の和集合} ここで (X×Y,Qx×y):位相空間になることを示せ。 わかる方いましたらよろしくお願いいたします <(_ _)> 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム 位相 X を位相空間，Y をコンパクト位相空間とする．このとき， (1) U を直積位相空間X × Y の開集合としたとき， A = { x | {x} ×Y ⊂ U } はX の開集合であることを示せ． これを解くためのヒントをください。 Ａに含まれる任意の点 x1のある近傍がＡに含まれることをしめすんですね。そのような近傍をどうとればいいんでしょうか。 位相数学の証明問題です。 位相数学の証明問題です。 以下の証明を，どなたか分かる方，お願いします。 R^2の３つの部分集合A = { (x,y) | (x,y) ≠(0,0) }，B = { (x,y) | x^2 + y^2 > 1 }，C = { (x,y) | |x| >1 or |y| > 1 } は，いずれも同相（※）であることを示せ。 ※2つの位相空間X,Yが同相であるとは，2つの連続写像 f ：X → Y および g ：Y → X で g o f = 1x ， f o g = 1y となるものが存在することをいう。 位相数学についてです。 位相数学についての質問です。 Ｒの有界閉集合が、有限個の閉区間の和集合である。ということは必ず成り立つのでしょうか？証明も反証も浮かびません。 よろしくお願いします。 離散位相、密着位相はなぜそう呼ばれる？ X を集合とするとき、X のすべての部分集合からなる位相 を考えることができる。この位相を離散位相（りさんいそう、discrete topology）といい、それを開集合系とする位相空間を離散空間（りさんくうかん、discrete space）という。また、空集合と X 自身のみからなる族 {Ø , X} も位相となる。この位相を密着位相（みっちゃくいそう、indiscrete topology）または自明位相 (trivial topology) といい、それを開集合系とする位相空間を密着空間という。 なぜ、離散、密着という言葉が使われるのですか? ハウスドルフについて Xをハウスドルフ空間、Yを位相空間とする。 また、X,Yが位相同型であるとすると、Yはハウスドルフ空間であるか？ ということを考えています。（位相同型：f：X→Yが全単射であって、f,f-{-1}が連続となる fが存在するとき）。よろしくお願いします。 大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。 大学数学の次の問題がわかりません。わかる方、教えてください。 位相空間Ｘにおいて、次の二つは同値となることを示せ。 (1)Ｘの可算個の閉集合Ｆ_n(n=1,2,3,...)に対してＡ＝∪(n=1～∞)Ｆ_nが内点をもてば、少なくとも一つのＦ_nは内点を持つ。 (2)Ｘの可算個の開集合Ｇ_nがＸで稠密ならばＡ＝∩(n=1～∞)Ｇ_nもＸで稠密である。 お願いします。 位相数学の問題です 問1。 x∈R^2,r＞0に対しR^2の部分集合Ur(x),Ir(x)を Ur(x)={y∈R^2:d2(x,y)＜r} Ir(x)={y∈R^2:d∞(x,y)＜r} とする。 ここでd2はEuclid距離,d∞はノルムⅠⅠ・ⅠⅠ∞により定義される距離(のn=2の場合)とする。 このときy∈Ir(x)に対しUp(y)⊂Ir(x)となるp＞0を具体的に求めろ。 問2 (X,D)を位相空間。△:X→X×X、△(x)=(x,x)を対角線写像とする。このとき、△は位相空間Xから積空間X×Xへの連続写像であることを示せ。 問3 X、Yを位相空間とする。写像f:X→Yに対し、F:X→X×Y、F(x)=(x,f(x))とする。fが連続ならばFはXからの直積空間X×Yへの連続であることを示せ。 問4 X×Yを位相空間(X,Dx)と(Y,Dy)の直積空間とする。Xの任意の点xに対してX×Yの部分空間{x}×Y(={(x,y)∈X×Y:y∈Y})はYと同相であることを示せ。 問5 (X,Dx)、(Y,Dy)を位相空間、(Z,Dz) (Z=X×Y)を直積位相空間、px:Z→X、py:Z→Yを射影とする。次の主張が正しければ証明し、誤りであれば反例をあげろ。 (i)射影pxは開写像である (ii)射影pxは閉写像である 位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方い 位相空間の問題についてです。以下の問題がわかる方いましたら、一問でもいいので、教えてくださると助かります…！ 次の各集合が開集合あるいは閉集合いずれであるか判定せよ。 (1) (1,4)U｛5｝(Rの部分集合として) (2) ｛( x , y )∈R^2 ; 3 < x + y , x^2 > y｝(R^2の部分集合として) (3) ｛( x , y , z )∈R^3 ; x^2 + y^2 + z^2≦ 1｝(R^3の部分集合として) 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
補足
Ｘを位相空間とする.Ｘ上の任意の異なる２点x,y∈Ｘに対し、二つの開集合Ｕ,Ｖで x∈Ｕ, y∈Ｖ かつ Ｕ∩Ｖ＝φ となるものが存在するとき、Ｘをハウスドルフ空間という. 位相空間Ｘの部分集合Ｆは、その補集合Ｘ－Ｆが開集合となるとき、閉集合という.