微分する

質問

すいません、ミクロ経済学の初歩の初歩について、誰か教えてくれませんか？

①　限界効用とは、点のことですか？
つまり、「効用曲線」の「傾き」を、ある特定量xで微分した特定点における傾きを、限界効用と呼ぶ。という理解で合ってますか？

②「効用関数」と「効用曲線」とはどんな関係にあるのでしょうか？効用関数ｆ（x）のXに、具体的な数字を代入した結果が、効用曲線になる、という理解で合ってますか？
そして、もしそういう理解であっているのだとした場合、「逓減の法則」にしたがった曲線になると思うんですが、代入する具体的な数字に、逓減の法則はどのように反映させればよいのでしょうか？
y＝f（x）だと、ただの直線になると思うんですが。

③　そもそも、「xで」「微分する」という言い方が、全くしっくり来なくてモヤモヤします。上のように、「とある特定量xの時点での傾きを求める」という言い方で理解しても良いでしょうか？
また、「yで微分する」という場合もあるのでしょうか？

回答No.5

statecollege

あなたはまもなくミクロ経済学のワンステップ上の問題、2財の世界で効用最大化を目指す消費者(家計）は2財の市場価格があたえられたとき自分の予算（所得）をそれら2財にどのように配分するか、という問題を習うことになるでしょう。そこでは、無差別曲線とか、限界代替率という概念を学ぶことになる。微分をもう少し深く勉強しておいてください。

回答No.4

statecollege

回答２ですが、あなたの質問①、②、③について一応回答していると思うんですが、わからない点があったら、追加質問してください。わかりやすい②から追記すると、回答であげた例を用いるとわかりやすいかと思うので、もう一度その例を使いましょう。
効用とはある消費者(家計）が消費するすべての財（私の例ではＸ財とＹ財）に依存するので、効用ＵとX財消費量ｘとの関係をみるためには、Ｘ以外の財（この場合Ｙ）の消費量を固定しないといけない。例にあげたように、y=4に固定されるなら、Ｕとｘの関係は
Ｕ＝２√x
であらわされる。これをU-x平面に描いたグラフを効用曲線という。これを描いてみてください。xが増えるとUも増えるが、増え方はだんだん逓減するグラフが描けたでしょうか？逓減することは、このグラフの傾きが逓減することは
u1(x,4)=1/√x
と、つねにプラスだが、ｘが大きくなるにつれて小さい値をとることからわかるでしょう。経済学で限界効用逓減とよばれる現象です。数値いれてみましょう。限界効用MU(x,4)=u1(x,4)=1/√xはx=4なら、1/2だが、x=9なら、1/3と小さくなるのがわかるでしょう。
①についてですが、限界効用とは効用曲線の傾きです、それは合っています。もう一度、y=4に固定されたとき効用曲線は（繰り返しになるが）
U=2√xとなり、このとき、x=4におけるこの効用曲線の傾きはx=4のときの限界効用1/2です。ｘ=9のときの効用曲線の傾きはこの時の限界効用1/3です。
③についてですが、（効用）関数をxで微分するとは数学的操作を表す言葉で、効用曲線の傾きを求める操作といいかえてもいいでしょう。もちろん、元の関数がU=u(x,y)という2変数xとyの関数なら、効用関数をyで微分する操作もあります。その操作は∂u/∂yであらわします。

回答No.3

f272

> それなら「x1で微分する」や、「x2で微分する」など、特定のxにおける傾きを求めなくてはならないと思うのですが。

微分するという言葉を使うときには，ある特定の点での微分係数を問題にしているのではなく，関数を全体として微分したものを考えています。そして微分した関数である限界効用曲線を作れば，各点での限界効用は限界効用曲線上の点の値として出てきます。

> 式がy＝f（x）ならば、x1を入れようがx2を入れようが、直線になると思うんですよ。

何を言っているのか理解不能です。
y=2√xであれば，微分してy'=1/√xですからこの微分した関数はだんだん小さくなっていますよね。これが逓減の法則に従っているということです。

回答No.2

statecollege

高校の数学(数3）で習う微分という概念は勉強した？どういう概念か知らないのであれば、むしろ「数学のカテ」で質問してください。経済学の　「限界」概念は「微分」概念の数学への応用です。
いま、Ｘ財とＹ財の2財の世界（経済）を考え、ある消費者（家計）のそれらの消費量をｘ、ｙであらわし、その消費者のそれらの消費から得る効用を
U=u(x,y)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
と書くと、Uを効用水準、u(・,・）を効用関数といいます。高校で微分を習ったとしても、1変数の関数の微分で、経済学でしばしばあらわれる2変数（あるいは多変数）の微分は習ったことはないのではないのでしょうか？上の(*)であらわされた2変数関数のときは、ｘで微分する、ｙで微分するという問題があらわれます。変数ｙをある一定の値にとどめてｘについて微分するとことをｘについて偏微分する（あるいは単にｘについて）微分するといい、
∂U/∂x　
あるいは
∂u/∂x
のような記号を用います（後者を用いましょう。）∂u/∂x自体、両変数xとyの関数なので原則的にはさらに微分できます。∂u/∂xを経済学では限界効用関数といいます。
効用関数U=u(x,y)をｙをある一定値に設定すると、効用関数はｘだけの関数となりますが、Ｘ財の消費量ｘの値を横軸に、Ｕを縦軸にとって描いたグラフを効用曲線と呼び、限界効用曲線はｙを上と同じ値にとどめて、ｘだけの関数としたとき、ｘの値を横軸に、∂u/∂xの値を縦軸にとって描いたグラフがｘの限界効用曲線になります。
例をあげましょう。いま、効用関数が
Ｕ＝√xy＝ｘ^1/2・y^1/2
で与えられたとしましょう。いま、y=4に与えられたとしましょう。このときの効用関数は
U＝u(x,4)=2√x
となり、限界効用関数をMU(x,4)と書くとこれをｘで微分して
MU(x,4)＝２・(1/2)x^(-1/2)=1/√x
となる。限界効用逓減とは限界効用MU(x/4)はXの消費量ｘが大きくなると、小さくなる、つまり限界効用関数MU(x,4)がｘの減少関数であることをいう。
関数と関数の値の違いはわかりますよね。関数とは、上の(*)で示されるように右辺の(x,y)の組を与えると、Uが決定されるルールのこと、具体例はU＝√xyのように、(x,y)=(4,4)と与えるとU=4、(x,y)=(9,4)と与えると、U＝6というように(x,y)にたいしてUの値を一意に決定するルールのこと。いま見たように関数の値は(x,y)の値与えたときのUの値をいう。

回答No.1

f272

(1)
限界効用とは、効用曲線の傾きのことです。ある特定量xで微分した特定点における傾きではなく、任意の点xにおける傾きであり、それは元の曲線を微分することで求まります。
(2)
「効用関数」をグラフ化したものが「効用曲線」です。効用関数ｆ（x）のxに具体的な数値を代入した結果をつなげたものが効用曲線になります。

> 代入する具体的な数字に、逓減の法則はどのように反映させればよいのでしょうか？

代入するxが小さいところの曲線は、xが大きいところの曲線よりも傾きが小さくなります。1つのxを代入した結果だけでは逓減の法則は見えません。いくつものx代入したいくつもの結果から逓減の法則が見えてきます。
(3)
微分するというのは「とある特定量xの時点での傾きを求める」だけでなく、その傾きをいくつもの点で求めることになります。ある特定の点での傾きを求めるだけなら微分するとは言わずに微分係数を求めると言います。
「yで微分する」という場合も考えようと思えば考えられますが、限界効用とかの話をしているときには全く出てきません。

補足

ご回答ありがとうございます。
追撃のお相手を願います。

〉その傾きをいくつもの点で求める

そうですよね。
それなら「x1で微分する」や、「x2で微分する」など、特定のxにおける傾きを求めなくてはならないと思うのですが。

〉代入するxが小さいところの曲線は、xが大きいところの曲線よりも傾きが小さくなります。

そのことを、「xで微分する」という一つの作業で代表できるのかが分からないんです。

それと、
式がy＝f（x）ならば、x1を入れようがx2を入れようが、直線になると思うんですよ。
ｆに逓減の法則が盛り込まれた方程式が埋まっている、ということであれば理解できるのですが、合ってますでしょうか？