限界代替率をさらに微分したときの変化について

質問

2種類の財の消費 x,y による消費者の効用関数 u(x,y) = x^1/3 * y^2/3 についての問題で行き詰ってしまったので質問させていただきます。

全微分を求めた後、限界代替率(-dy/dx)を求め、求めた限界代替率をさらに x で微分して、x に関する変化について論じる。
という問題について

全微分は、(1/3x^-2/3 * y^2/3)dx + (2/3x^1/3 * y^-1/3)dy = 0
限界代替率は、-dy/dx = y/2x

と求めることができたのですが、x に関する変化を論じるというところがわかりません。

書籍などで調べると無差別曲線などという言葉も出てきました。
なので、効用関数が一定のときの無差別曲線を描いたりして求めるのかなと思いましたが、よくわかりませんでした。

この場合 x に関する変化を論じるとはどういうことなのでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#65404 · ベストアンサー

こんばんは。

>求めた限界代替率をさらに微分すると　-y/2x^2　－(1)
と求められます。
>x と y は財なのでマイナスを取ることはないと思うので、x,y を正として考えると、(1)で求められる値は常にマイナスとなってしまいます。

ここまで理解できているようですので、答えまであと一歩です。
問題のキーワードは「限界代替率逓減」です。
限界代替率逓減（の法則）について調べてみてください。

お礼

回答ありがとうございました。
大変参考になり自分なりの答えを出すことが出来ました。

回答No.1

at9_am

効用関数 u(x,y) = x^1/3 * y^2/3 について、全微分すると
(1/3x^-2/3 * y^2/3)dx + (2/3x^1/3 * y^-1/3)dy = du
となります。ここで、x財を１単位諦めたとき、効用水準を一定に保つ (du = 0) ために必要なy財の量が限界代替率であり、MRS=y/2x と計算できます。

問題を読んでいないので適切な解答かどうかは分かりませんが、この
「限界代替率＝ある財の組合せ(x,y)があり、ｘ財を１単位諦めたとき効用水準を一定に保つために必要なy財の量」
が、ｘに関する変化を論じる、ということではないかな、と思います。あるいは、
「ｘ財が豊富にあればあるほど、ｙ財が少なければ少ないほど、ｘ財を１単位諦めたときに効用水準を保つために必要なｙ財の量は少なくて済む」
という解答が適切かも知れません。

お礼

勉強になります。
わかりやすい解説ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。

しかしまだ分からない点があるのですが、限界代替率をさらに x で微分するのはなぜなのでしょうか？

求めた限界代替率をさらに微分すると　-y/2x^2　－(1)
と求められます。

x と y は財なのでマイナスを取ることはないと思うので、x,y を正として考えると、(1)で求められる値は常にマイナスとなってしまいます。
これによってどんな変化があるのでしょうか？

よろしくお願いします。

>問題を読んでいないので
すいませんでした。
問題文を全部記載します。

2種類の財の消費 x,y による消費者の効用関数 u(x,y) = x^1/3 * ^2/3について以下の問いに答えなさい。
1)第1財と第2財の間の限界代替率を求めなさい
2)限界代替率をさらに x で微分し、x に関する変化を論じなさい