(x-c)^2+y^2=c^2に直交する曲線族の微分方程式で

質問

初学者です。

[問] x-y平面上の(原点でy軸に接する)円(x-c)^2+y^2=c^2の族Fを考える。
このFに直交する曲線族Gによって満足する微分方程式を求めよ。

を解いています。

[解]
Fの接線の傾きを求めると
(x-c)^2+y^2=c^2を微分して
2(x-c)+2y(dy/dx)=0
dy/dx=(c-x)/y …(*)
で
FにGが直交するのだから
Gの接線の傾きは(c-x)/yの逆数の-1倍なので
y/(x-c)
よって、Gについての微分方程式は
dy/dx=y/(x-c)
となると思うのですが答えには
(*)にc=(x^2+y^2)/2xを代入してます。
どうしてこれを代入しないといけないのでしょうか?
私のは間違いなのでしょうか?

回答No.2

maimait · ベストアンサー

微分方程式に限ったことではないですが、「任意のｃについて成り立つ式」を解いていたら、途中の式や答えでは「適切なｃを取らないと成り立たない」になっていることはよくあります。（逆は成り立たないので、その場合は任意な変数を消すようにしないといけない）
しかし、質問者さんはそのままｃを使っており、答えも任意のcで成り立つと思っている（または違いがよくわかっていない)…といったところでしょうか？

質問者さんの解答にあてはめると、
ｃは任意だからｃに適当な数を入れた、dy/dx=y/(x-3) でも dy/dx=y/(x-5) は全ての族Ｆで成り立つといっているのと同じ。
しかし、たとえば前者だと (x-3)^2+y^2=3^2 でのみ成り立つだけの式でしかない…
というふうです。（微分方程式はあまり得意ではないので、疑問点や問題そのものを取り違えてたらご容赦を）

お礼

問題の意味がいまいちつかめてませんでした。

問題の意味は
『Fを集合{{(x,y)∈R;(x-c)^2+y^2=c^2};c∈R}とする。
(つまり、{(x,y)∈R;(x-c)^2+y^2=c^2}というグラフの集まり)

A:=∪{(x,y)∈R;(x-c)^2+y^2=c^2}
　c∈R

はFの元がとる領域(原点を除いた第1象限と第4象限)を表す。
∀(x,y)∈Aに対して、
その(x,y)を接点とする(この(x,y)を通るFの元は唯一つしか存在しない)法線の傾きはx,yを使って何と書けるか』

だと思います。

先ず接点(x,y)における接線の傾きは(x-c)^2+y^2=c^2を微分して
dy/dx=(c-x)/y (但し、cは(x-c)^2+y^2=c^2を満たす)
よって法線の傾きはこれの逆数の-1倍なので
dy/dx=y/(x-c) (但し、cは(x-c)^2+y^2=c^2を満たす)
後、この但し書きを取っ払うには
dy/dx=y/(x-c)のcに(x-c)^2+y^2=c^2を代入すればいい訳ですから代入して
dy/dx=2xy/(x^2-y^2)
となるのですね。

もし、再度勘違いしてましたらご指摘ください。

回答No.1

endlessriver

そのままではあるcを固定したある１つの曲線に直交する曲線を求めることになります（解いてみればわかる）。

お礼

例えばdy/dx=5yという微分方程式の一般解はy=Ce^(5x)　(Cは積分定数)
でCは色々な値をとる訳ですよね。
つまり、y=Ce^(5x)は1つの曲線ではなく、曲線の集合(曲線族)を表していますよね
同じようにdy/dx=y/(x-c)についても解釈したのですが、、
dy/dx=y/(x-c)　(cは任意定数)
と記しても正解にはなりませんでしょうか?