微分法について

質問

宜しくお願いします。

「微分法」そもそもの意味がわかりません。
というのも、○○で微分する、というのはどう意味かということです。

y=x^2

を「xで微分する」ということと、「yで微分する」ということの違いはなんなのかがわかりません。
xで微分すればもちろんy'=2xなのですが、yで微分するとどうなるのでしょうか。

接線の傾きを表しているという説明は学校で聞きましたし、理解はしましたが本質的な部分がさっぱり理解できておらず、「微分法という操作」ができるだけです。
「微分する」とはどういうことなのか、分かりやすく教えていただければ幸いです。

もともと悩んでいた問題は以下のものです。

yがxの関数で、関係式2x^2+3y^2=6 (y≠0)が成り立つ時、dy/dxを求めよ

回答では

d/dx(2x^2)+d/dx(3y^2)=0

4x+6y・dy/dx=0

dy/dx=-2x/3y

とありますが、なぜ4x+6y・dy/dx=0のdy/dx部分が残るのかわかりません。

わかりにくく、抽象的な文章で申し訳ありませんが、ご教授お願いいたします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

y=x^2 を「x で微分する」とは、dy/dx = dx^2/dx へ変形すること、
「y で微分する」とは、dy/dy = dx^2/dy へ変形することです。
どちらの式も成り立ちますから、問題の目的に合った微分をするとよいです。

質問の問題では、
x で微分すれば d(2x^2+3y^2)/dx = d6/dx から 4x + 6y(dy/dx) = 0 が、
y で微分すれば d(2x^2+3y^2)/dy = d6/dy から 4x(dx/dy) + 6y = 0 が
得られますが、どちらを使っても dy/dx = -2x/(3y) という結論になるので、
x で微分しても、y で微分しても構わないでしょう。

(d/dx)(3y^2) = 6y(dy/dx) となる理由は、
合成関数の微分則 dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) です。
d(3y^2)/dx = {d(3y^2)/dy}(dy/dx) = (6y)(dy/dx) から、
(d/dy)(3y^2) である 6y に dy/dx が掛かってくるのです。

＞「微分する」とはどういうことなのか
という壮大な質問に対しては、あまり哲学的にならないで
定義と計算方法を覚えたほうがいいよ…としか言えません。

「微分する」の定義は、f(x) から lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h を計算することであり、
その具体的な方法は、毎回定義式に戻るのではなく、様々な公式に支えられています。
線形性 (d/dx)(2x^2+3y^2) = 2(d/dx)(x^2) + 3(d/dx)(y^2) も、そう。
べき乗の微分 (d/dx)x^n = n x^(n-1) も、そう。
合成関数の微分や、逆関数の微分則 dx/dy = 1/(dy/dx) も、そう。

こういった手駒を増やして、具体的な計算から体得していくほうが、
抽象的に悩むよりも、微分するとは何か…を掴みやすいと思います。
練習して、ひと通りの問題が解けるようになるころには、
自分なりの薀蓄がいえるようになっているはずです。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。

微分することの説明は確かに壮大ですよね（笑）
つかみどころのないスケールの大きな質問をしてしまいました。
道具として使えても理解できていないことが気持ち悪くて…。

今回の問題では合成関数の微分という形で支えられているということですね。
まだまだ演習不足であることは否めませんので、たくさん問題をこなしていきたいと思います。

回答No.3

hugen

2x^2+3y^2=6
y = √(6-2x^2)/3 , y = -√(6-2x^2)/3

y = √(6-2x^2)/3　の場合
2x^2+3{√(6-2x^2)/3}^2=6
2x^2+3u^2=6 . u = √(6-2x^2)/3

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

private3int

「xで微分する」とは、xに対する変化率を求めること。
「yで微分する」とは、yに対する変化率を求めること。

ちなみに積分とは、変化の合計を求めることに相当する。つまりΣ演算と同じであるから、基本的な演算法則も同じになっている。

質問の内容にもある通り、陰関数型の2次曲線の方程式 f(x,y)=0 をxで微分する場合を考えてみる。
y = g(x) として表せるから、yはxに依存することは自明である。

したがって、y^2 をxで微分する場合、y^2はxに依存する合成関数として考え、2y dy/dx とする。
これは、一般的に成り立つことである。
x^2 を x で微分する場合、2x dx/dx　のように計算されるので、2x を得る。

合成関数の微分については教科書を参照の事。

お礼

合成関数という操作自体はわかります。
しかし、
>>y^2はxに依存する合成関数として考え、2y dy/dx とする。
>>これは、一般的に成り立つことである。
という部分がわかりません…。

理解力がなく申し訳ありません。

回答No.1

spring135

微分ということは多彩な側面を持っていますが基本的なものの一つは曲線の傾きであるということです。言い換えると変化率、時間の関数で表した移動距離曲線を考えるとその時間微分は速度、速度の時間微分は加速度などという、現実の現象を表すのに便利な手法であって、使いこなすやつが得をするということです。

＞2x^2+3y^2=6

これがｘｙ平面上の曲線を表すということがわかりますか。一つのｘの値に対して２個のｙ、またその逆も成り立っています。曲線上の点(x,y)を指定すれば傾きが一個確定するということがわかりますか。それをx軸に対する傾きとしてみるのがdy/dxでy軸に対する傾きとみるのがdx/dyでこの２つは逆数だということがわかりますか。

微分・積分で何を調べているのかというとそれは図形の性質です。計算は大したものではありません。その図形における意味合いを知ることができるかどうかが、ポイントです。入試も同じで微分・積分を計算だと思っている受験生はまず落ちるでしょう。図形として、要するに日常の物体の形状に関する調査という感覚で臨むべきです。

お礼

陰関数であることは分かります。

図形的にとらえる、非常にわかりやすい貴重なアドバイスです。
確かにグラフの絡まない微積分の問題はありませんもんね。

勉強になりました、ありがとうございます。