cos(有理数*2π)=有理数となるのはどういったときですか
先日、tan１°、sin１°が無理数であるとのご回答を
いただきました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2209804
cos(n°)が有理数になるのは、1≦n≦89の範囲では、n=60のときになるときだけ、と自分自身で考えたことをお礼の欄で述べましたが、それはしらみつぶしの方法でした。
改めて、cos(2π*p/q)が有理数となる場合はどういったときか、を教えていただきたいです。以後、孤度法を用います。
sinやtanも気になりますが、とりあえずcosがやりやすそうです。
孤度の(有理数*2π)を区間[0,π/2]上の点に限ると、
結論は、次の場合のみであろうと僕は思います。
cos(0)=(-1),cos(π/3)=1/2,cos(π/2)=0
さて、それを示したいのですが、cos(nθ)はcosθの整数係数n次多項式でかけると言うn倍角の公式があります。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm
をみると、その最高次の係数は、2^(n-1)です。
定数項は、0または±1です。
つまり、文字を自然数として、
cos(2π*p/q)=r/s
と仮定したとき、左辺のq倍角は、
1=cos(2π*p)=[cos(2π*p/q)を変数とする整数係数q次多項式、最高次の係数は2のベキ]
になりますが、それが有理数解r/sを持つなら、分母のsは2のベキになることが分かります。
ここで、分母が2のときは、cos(π/3)=1/2などの解がある。
分母が4のときは、・・・、うーん、ここでつまりました。
別の解法でもいいですので、ヒントでもいいですので、tanなどの場合でもいいですので、なにかご教授いただけないでしょうか？
