有理化？

質問

以下の有理化が出来ずに困っています。

1/（√２＋√３+２+√６）

色々試しているのですが迷って何が正解なのか？
どなたか私をすっきりと寝かせてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

「分母の有理化」ですね。

質問の式の分母には、４個の項があり、３個の√が含まれています。
そのうち√６は、√２×√３で作れますから、
この分母を、√２と√３という２個の√を含む式と考えましょう。
分母の√２と√３を、それぞれ±√２と±√３で置き換えると、
もとの式を含めて４個のバリエーションができます。
1/（√２＋√３＋２＋√２×√３）
1/（ー√２＋√３＋２ー√２×√３）
1/（√２ー√３＋２ー√２×√３）
1/（ー√２ー√３＋２＋√２×√３）
分母の有理項２を√２×√２と考えてもいいけれど、
その場合も、出てくる４個のバリエーションは同じです。
これら４式を、「互に共役(有理係数上共役)である」と言います。

分母の有理化は、分子と分母へ、分母に共役な数を全部掛ける
ことで行えます。質問の式では、分子と分母へ
1/（ー√２＋√３＋２ー√６）
1/（√２ー√３＋２ー√６）
1/（ー√２ー√３＋２＋√６）
の３個を掛ければよい。展開して、分母から√が消えることを
確認しておいてください。

この方法は、√の数が何個でも使えます。(二重√があったらダメですが。)
解かったら、お風呂で「ユーリカ！」と叫びましょう。

お礼

ありがとうございました。少し数学から遠のいていたので錆びついた頭には丁度よい刺激になりました。

回答No.2

qtyam

有利化そもそも意味間違ってたらごめんなさい。

a=√2
b=√3
として

1/（√２＋√３+２+√６）
= 1/(a^2 + ab +a+b)
=1/((a+b)(a+1))

ここで平方根を有利化する手段として
(x+y)(x-y)=x^2 -y^2
を使う

続き（分母分子に(a-b)(a-1)をかける）
=1×(a-b)(a-1) / ((a+b)(a-b))((a+1)(a-1))
=(a-b)(a-1) / (a^2-b^2)(a^2-1)

分子は計算しやすいように、展開しとこ
=(a^2-ba-a+b) / (a^2-b^2)(a^2-1)

ここで
a=√2
b=√3
を元に戻す

続き
=　(2-√6-√2+√3）/-1
あらま、分母がマイナスついた、あってんのかな、、

=　-(2-√6-√2+√3)

=　-2+√6+√2-√3
↑これが最終の答え

数値の並びは、キレイにしてね。
括弧は見やすくするために、多用しました。
ちょいミスあっても、考えは大体あってるはずなんだ。

夜も遅いですが、頑張ってください。

お礼

ありがとうございました。ご回答いただいた皆さんには感謝です。

回答No.1

aries_1

(与式)=(√2+√3)-(2+√６)/{(√2+√3)+(2+√6)}*{(√2+√3)-(2+√6)}…(1)
((1)の分母)=(2+2√6+3)-(4+4√6+6)=-(5+2√6)
よって(1)⇔-(√2+√3-2-√6)*(5-2√6)/(5+2√6)*(5-2√6)…(2)
((2)の分母)=25-24=1
後は頑張って下さい

お礼

ありがとうございました。ここまで書いていただければどうにでもなります。