有理化について。

質問

次の問題の答えは、7／13で合っていますでしょうか？後、写真と似たような問題を作っていただけないでしょうか？

回答No.2

staratras · ベストアンサー

答えはそうなります。この問題は分子・分母が±以外共通の形なので、一般的な形で計算して代入するのが効率的ではないかと思います。

｛(n+√(n^2-1))^(3/2)±(n-√(n^2-1))^(3/2)｝^2
=8n^3-6n±2　(複合同順）　であるから

与式の2乗=(8・4^3-6・4+2)/(8・6^3-6・6-2)=49/169

与式の分子・分母は明らかに正だから、与式=7/13

上の式を活用すれば、例えば
分子が｛(12+√143)^(3/2)+(12-√143)^(3/2)｝
分母が｛(14+√195)^(3/2)-(14-√195)^(3/2)｝

答えは23/29

回答No.4

tmppassenger

あ、間違えた
( ((( 2+ √3))^(3/2)) + ((( 2 -√3))^(3/2)) ) / ( ((( 13 + √168))^(3/2)) - (((13 - √168))^(3/2)) ) = (√(3/12)) * (3 / 27) = 1/18

回答No.3

tmppassenger

ではもうちょっといって：
分子 x を (n+√(n^2-1))^(3/2) + (n+√(n^2-1))^(3/2)
分母 yを (m+√(m^2-1))^(3/2) - (m+√(m^2-1))^(3/2)
とすれば、

x^2 = 8n^3 -6n + 2 = 2(n+1) (2n-1)^2
y^2 = 8m^3 -6m - 2 = 2(m-1) (2m+1)^2

であるから、 結局 x/y = ( √{(n+1) / (m-1)} ) * (2n-1) / (2m+1)

m=n+2とすれば、任意の有理数nに対し、x/yは必ず有理数になる。例えば n=5, m=7に対して
( ((( 5+ √24))^(3/2)) + ((( 5 -√24))^(3/2)) ) / ( ((( 7 + √48))^(3/2)) - ((( 7 - √48))^(3/2)) ) = 9 / 15 = 3 / 5

後は、 (n+1) / (m-1)がうまいこと何かの平方になるようにしてもよい。例えば n=2, m=13に対して
( ((( 2+ √3))^(3/2)) + ((( 2 -√3))^(3/2)) ) / ( ((( 13 + √168))^(3/2)) - (((13 - √168))^(3/2)) ) = (√(3/12)) * (3 / 12) = 1/8

回答No.1

tmppassenger

確かに 7/13になりますね。分子、分母は明らかに正ですが、それぞれ2乗して整理すると、分子の2乗は 490 = 2 * 5 * 7 * 7、分母の2乗は 1690 = 2 * 5 * 13 * 13になるので確かに 7/13になります。

この計算の時、4^2 - 15 = 1, 6^2 - 35 = 1になるのが使えますので、そのような組み合わせの数を使うと、比較的きれいな有理化が出来る別の問題が作成出来るでしょう。

補足

では、作っていただけないでしょうか？すみません。教えていただけないでしょうか？