微分方程式の問題
当方理系大学生です。次の微分方程式の問題について質問させていただきます。
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[問題]円群 x^2+y^2=c^2の各曲線に45°で交わる曲線群の満たす微分方程式が次式で表されることを示せ。
x+y(y'-1)/(y'+1)=0
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この問題を、私は次のように解きました。
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x^2+y^2=c^2に45°で交わる曲線のひとつをy=f(x)とおく。これの点(x,y)における接線ベクトルは(1,f'(x))とできる。同様に、x^2+y^2=c^2の点(x,y)における接線ベクトルは(1,y')とできる。これらの接線ベクトルが45°で交わるとき、二つのベクトルの内積を考えれば、
1*1+f'(x)*y'=√(1+f'(x)^2)√(1+y'^2)cos45°
両辺を二乗して、整理すると、
(f'(x)^2-1)y'^2+4f'(x)y'+1-f'(x)^2=0
を得る。これをy'について解くと、
y'=(-2f'(x)±(f'(x)^2+1))/(f'(x)-1)
よって、
y'=f'(x)-1 または y'=-(f'(x)+1)/(f'(x)-1)
を得る。
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さて、最後にy'が2つ出てしまって、問題から言えば前者が排除できるはずなのですが、なぜ排除できるのかを説明することができません。解答・解説を見ても、「曲線群f(x,y,y')=0の各曲線に角αで交わる曲線群の満たす微分方程式はf(x,y,(y'-tanα)/(1+y'tanα))=0となる」とあるだけで詳しく解説されておりませんでした。
y'=f'(x)-1とならないのはなぜか、お答えいただければと思います。
