微分方程式の問題です。お願いします。

質問

いつもお世話になっております。
微分方程式を独学で勉強しています。

常微分方程式の参考書を一通り進めて、
問題を解いてみているのですが
画像にある（3）の問題が解けません。

優しい参考書を使っているためか、
(dy/dx)^2　の項のような形は見たことがありません。。。

どうぞ、解き方を教えていただけないでしょうか。
宜しくお願いします。

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回答No.2

spring135 · ベストアンサー

yy''-(y')^2-2y^2=0 (1)

第2項の符号がマイナスなのでy'/ｙがらみと見当を付ける。

（プラスならy'y)

z=y'/y

とおく。

z'=[y''y-(y')^2]/y^2

よって(1)は

z'y^2-2y^2=0

z'=2

すなわち

(y'/y)'=2

y'/y=2x+c

y'=(2x+c)y

dy/dx=(2x+c)y

変数分離して

dy/y=(2x+c)dx

log(y)=x^2+cx+d

y=he^(x^2+cx)

c,hは積分定数、初期条件、境界条件から決める。

お礼

大変分かりやすかったです。
こういう風にすればスンナリ出るんですね。
ありがとうございました。

回答No.3

kiyos06

1)dy/dx=Vとする。
ydV/dx-V^2-2y^2=0
2)y(dV/dy * V) -V^2-2y^2=0
3)y/2 dV^2/dy -V^2-2y^2=0
4)V^2=Uとする。
ydU/dy-2U-4y^2=0
5)U=y^n * Tとする。
y^(n+1)dT/dy + ny^n T -2y^n T -4y^2=0
6)n=2とする。
y^3 dT/dy -4y^2=0

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

y が恒等的に 0 なら成り立つのは明らかなので, そうでないとして y^2 でわってみる.

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます。
ｙ＾2　で割ってみましたが、

んー・・・
よく分からない形です。

その後、(dy/dx)=P とおいて、とかですかね・・
色々やっていますが、解けそうで、解ける形になりません。。。