微分方程式を解く問題なのですが。

質問

微分方程式を解く問題で
（1）dy/dx+y=e^x
（2）dy/dy+ycosx=e^(-sinx)
自分でやってみても分からず、解答にもくわしい回答が載っていなかったので、くわしい回答お願いします。

回答No.3

sanori

こんにちは。

線形微分方程式の一般解の公式を知っていると便利です。
ｙ’＋ Ｐ(x)ｙ　＝　Ｑ(x)
の一般解は、
ｙ　＝　ｅ^(-∫Pdx)・｛∫ｅ^(∫Pdx)・Ｑｄｘ ＋ Ｃ｝

（１）
ｙ　＝　ｅ^(-∫1dx)・｛∫ｅ^(∫1dx)・ｅ^xｄｘ ＋ Ｃ｝
　＝　ｅ^(-x)・｛∫ｅ^x・ｅ^xｄｘ ＋ Ｃ｝
　＝　ｅ^(-x)・｛∫ｅ^(2x)ｄｘ ＋ Ｃ｝
　＝　ｅ^(-x)・｛１／２・ｅ^(2x) ＋ Ｃ｝
　＝　１／２・ｅ^x ＋ Ｃ・ｅ^(-x)

（２）
dy/dy+ycosx=e^(-sinx)　ではなく　dy/dx+ycosx=e^(-sinx)　ですね。

ｙ　＝　ｅ^(-∫cosxdx)・｛∫ｅ^(∫cosxdx)・e^(-sinx)ｄｘ ＋ Ｃ｝
　＝　ｅ^(-sinx)・｛∫ｅ^(sinx)・e^(-sinx)ｄｘ ＋ Ｃ｝
　＝　ｅ^(-sinx)・｛∫ｅ^0ｄｘ ＋ Ｃ｝
　＝　ｅ^(-sinx)・｛∫１ｄｘ ＋ Ｃ｝
　＝　（ｘ ＋ Ｃ）ｅ^(-sinx)

回答No.2

Willyt

両方とも解き方は同じです。右辺がゼロではない、非同次方程式の解は、右辺をゼロとおいた同時式の解と原式を満たす任意の解を視察によって求め、これを加え合わせたものが解になります。同時式は両方とも線形ですから簡単に解けますね。

回答No.1

Mr_Holland

２問とも　非斉次の１階線形常微分方程式ですね。
　どちらも同じ解法で解けますが、質問者さんのために、敢えて異なる方法で解いてみます。

（１）　dy/dx+y=e^x　　　　・・・・・・☆１

　（解法１）　特殊解と　斉次微分方程式の解から　一般解を求める方法

　　☆１から、次の特殊解を得ます。
　　　ｙ＝1/2 e^x　　　　　・・・・・・・・・・・（Ａ）

　　次に、☆１の右辺を０とおいた斉次方程式で、変数分離によりｙを求めます。

　　dy/dx+y＝０
　　dy/y＝-dx
　　log|y|＝-x+C1
　∴y＝e^(-x+C1)　＝C2 e^(-x)　　（C1,Cは積分定数）　　・・・・・（Ｂ）

　　☆１の一般解は、　特殊解（A)と　斉次方程式の一般解（B)の和で表されることから、次のように得られます。

　　ｙ＝1/2 e^x + C e^(-x)　　（Ｃ：積分定数）

（２）　dy/dx+ycosx=e^(-sinx)　　　・・・・・☆２

　（解法２）　斉次方程式の一般解から、定数変化法で　非斉次方程式の一般解を求める方法

　☆２の斉次方程式の一般解を　変数分離　により求めます。

　　dy/dx + y cos(x)＝０
　　dy/y＝-cos(x) dx
　　log|y|＝-sin(x) +C1
　∴ｙ＝e^{-sin(x)+C1}　＝C2 e^(-sin(x)}　（C1,C2 は積分定数）　　・・・・・（Ｃ）

　次に、式（Ｃ）の積分定数Ｃ2を　ｘの関数として　u(x)　に置き換えます（変数変化法）。

　　y＝u(x) e^(-sin(x)}　　　　・・・・・・・・・（Ｄ）
　∴y'＝u'(x) e^(-sin(x)} - u(x) cos(x) e^(-sin(x)}

　これらを　式☆２　に代入します。

　　u'(x) e^(-sin(x)} - u(x) cos(x) e^(-sin(x)} + u(x) cos(x) e^(-sin(x)}　＝　e^(-sin(x)}
　　u'(x) e^(-sin(x)}＝e^(-sin(x)}
　∴u'(x)＝1
　∴u(x)＝x+C　（C:積分定数）　　　・・・・・（Ｅ）

　式（Ｅ）を式（Ｄ）に代入して、☆２の一般解を得ます。

　　y＝(x+C) e^(-sin(x)}　

　ちなみに、この一般解は　

　　y＝x e^(-sin(x)} + C e^(-sin(x)}
　　　＝x e^(-sin(x)} ＋（斉次方程式の一般解（式Ｃ））

と変形できますので、　x e^(-sin(x)} 　が☆２の特殊解であることが分かります。