微分方程式を使わないと解けない問題は何ですか？

質問

微分方程式を使わないと解けない問題は何ですか？

重力加速度を＝9.8m/s^2　とすると

距離を求める公式を作るのに積分が役に立ちます

速さ＝9.8時間
速さ'＝距離＝9.8/2時間^2

これを使えば、５０ｍから落ちると
50＝4.9時間^2
時間＝3.19秒で地面に激突する、と分かります。

この様にして私は、微分積分の使い方、実用性が分かりました。

同様に、微分方程式での実感として役に立ったと
感じるような、問題を教えてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

まず
＞＞＞
速さ＝9.8時間
速さ'＝距離＝9.8/2時間^2
これを使えば、５０ｍから落ちると
50＝4.9時間^2
時間＝3.19秒で地面に激突する、と分かります。

についてですが、積分するときに積分定数をつけるのを忘れていますよ。
また、上方向をプラスとするのが常道ですので、９．８ではなく－９．８を使わないといけません。

加速度　＝　－９．８

速度　＝　－９．８×時刻　＋　積分定数その１

時刻＝０　のときの速度を「初速」と置けば、
初速　＝　－９．８×０　＋　積分定数その１　＝　積分定数その１
なので
積分定数その１　＝　初速
速度　＝　－９．８×時刻　＋　初速

位置　＝　－９．８×時刻^2／２　＋　初速×時刻　＋　積分定数その２

時刻＝０　のときの位置を０と決めれば、
０　＝　－９．８×０^2／２　＋　初速×０　＋　積分定数その２
なので、
積分定数その２　＝　０

＞＞＞同様に、微分方程式での実感として役に立ったと感じるような、問題を教えてください。

ある時刻からその１秒後までに故障する確率が常に１万分の１である機械がたくさんある。
故障ゼロ台からスタートして、故障せずに生き残っている装置の台数が、初期の１０分の１になるのは何秒後か。

時刻をｔと置く。
生き残っている台数をＮと置く。
ある時刻からその１秒後までに故障する確率をλと書く。

時間当たりのＮの減少は、Ｎとλに比例し、符号は逆なので
ｄＮ／ｄｔ　＝　－λＮ
と書ける。

ｄＮ／Ｎ　＝　－λｄｔ
∫１／Ｎ・ｄＮ　＝　－λ∫１・ｄｔ
logＮ　＝　－λｔ　＋　定数
Ｎ　＝　ｅ^(-λt+定数)　＝　ｅ^定数・ｅ^(-λt)

ｔ＝０　のときのＮの個数をＮo　と置くと
Ｎo　＝　ｅ^定数・ｅ^(-λ×0)　＝　ｅ^定数
よって、
Ｎ　＝　Ｎo・ｅ^(-λt)
Ｎ／Ｎo　＝　ｅ^(-λt)

実際の数を当てはめて、
１／１０　＝　ｅ^(-t/10000)
－log１０　＝　－ｔ／１００００
ｔ　＝　１００００log１０　≒　１００００×２．３０　＝　２３０００（秒）
２３０００秒後までに９０％が故障することがわかりました。

これは、理科の各分野で頻出する式です。
たとえば、あまり透明でないガラスを透過する光の減衰とか、放射能の減衰とか、洗浄回数と汚れの残りの関係とか、電気回路の動作スピードの計算とか・・・
（直感的にわかりやすい例としては、ケーキを半分に切り、残りを半分に切り、そのまた残りを半分に切り・・・）

以上、ご参考に。