微分方程式の問題

質問

当方理系大学生です。次の微分方程式の問題について質問させていただきます。

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[問題]円群 x^2+y^2=c^2の各曲線に45°で交わる曲線群の満たす微分方程式が次式で表されることを示せ。

　x+y(y'-1)/(y'+1)=0

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この問題を、私は次のように解きました。

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x^2+y^2=c^2に45°で交わる曲線のひとつをy=f(x)とおく。これの点(x,y)における接線ベクトルは(1,f'(x))とできる。同様に、x^2+y^2=c^2の点(x,y)における接線ベクトルは(1,y')とできる。これらの接線ベクトルが45°で交わるとき、二つのベクトルの内積を考えれば、

　1*1+f'(x)*y'=√(1+f'(x)^2)√(1+y'^2)cos45°

両辺を二乗して、整理すると、

　(f'(x)^2-1)y'^2+4f'(x)y'+1-f'(x)^2=0

を得る。これをy'について解くと、

　y'=(-2f'(x)±(f'(x)^2+1))/(f'(x)-1)

よって、

　y'=f'(x)-1　または　y'=-(f'(x)+1)/(f'(x)-1)

を得る。

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さて、最後にy'が2つ出てしまって、問題から言えば前者が排除できるはずなのですが、なぜ排除できるのかを説明することができません。解答・解説を見ても、「曲線群f(x,y,y')=0の各曲線に角αで交わる曲線群の満たす微分方程式はf(x,y,(y'-tanα)/(1+y'tanα))=0となる」とあるだけで詳しく解説されておりませんでした。

y'=f'(x)-1とならないのはなぜか、お答えいただければと思います。

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

演習場の各点においてf'(x)を計算し、ｙ’+とｙ’-に換算してこれを傾きとする直線を描くと演習の接線に対して±45°の直線になっていることがグラフィック的にわかります。

＞問題]円群 x^2+y^2=c^2の各曲線に45°で交わる曲線群の満たす微分方程式が次式で表されることを示せ。

ここでいう45°は出題者が好みとするcandidate（ｙ’+またはｙ’-）を選んだのでしょう。

＞「曲線群f(x,y,y')=0の各曲線に角αで交わる曲線群の満たす微分方程式はf(x,y,(y'-tanα)/(1+y'tanα))=0となる」

これは極めて偏見のない一般論でαをプラスに取ろうがマイナスに取ろうが実数ということです。

＞1*1+f'(x)*y'=√(1+f'(x)^2)√(1+y'^2)cos45°

を解くときに

cos45°＝[1*1+f'(x)*y']/√(1+f'(x)^2)√(1+y'^2)　　　　　　　　　　　　　（*1）

を2乗して計算したことによって

-cos45°＝[1*1+f'(x)*y']/√(1+f'(x)^2)√(1+y'^2)

も入ってしまって±45°の2本の直線になったわけです。　　　　　　　　（*2）

高校数学の必要十分をきちんと押さえれば（*1）に絞れたでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
成る程…二乗したことによって解が増えてしまったと。まあ当然といえば当然ですね…愚問でした。
何度も丁寧に回答していただき、ありがとうございました。また、返答が遅れましたこと、お詫びいたします。

回答No.2

bran111

実際にどちらを使って書いてみても同じ結果が出るから一方を省略したもでしょう。円の内側から描くか外側から描くかの違いかも℃しれません。数値計算してみてください。ごく簡単なプログラムでできるでしょう。

補足

回答ありがとうございます。
一応計算してみたのですが…

+: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%2By%28y%27-1%29%2F%28y%27%2B1%29%3D0
-: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-y%28y%27%2B1%29%2F%28y%27-1%29%3D0

どうも一致しないようです。ううむ…

回答No.1

bran111

＞(f'(x)^2-1)y'^2+4f'(x)y'+1-f'(x)^2=0

を得る。これをy'について解くと、

　y'=(-2f'(x)±(f'(x)^2+1))/(f'(x)-1)

これが間違いです。正しくは2次方程式の解の公式を用いて

y'=(-2f'(x)±(f'(x)^2+1))/(f'(x)^2-1)

+ : y'=[f'(x)^2-2f'(x)+1]/(f'(x)^2-1)=(f'(x)-1)/(f'(x)+1)

- : y'=-[f'(x)^2+2f'(x)+1]/(f'(x)^2-1)=-(f'(x)+1)/(f'(x)-1)

これは解説の(y'-tanα)/(1+y'tanα))においてαを45°にとるか、-45°にとるかの違いで内容と入して一致しています。

補足

回答ありがとうございます。ご指摘の通り、y'の計算を間違えておりました。申し訳ございません。

さて、今回y'の解が二つ得られたのは、αを45°とするか-45°とするかということに対応するためであるということで、当方もそれは承知しておりまして、ここでは何故一方のみが選ばれているのかということを伺いたいのです。更に言えば、問題が「x+y(y'∓1)/(y'±1)=0となることを示せ」となっているのなら理解できた、ということです。

今一度、何故一方のみを排除できるのか、お伺いします。