資産選択期待効用最大化

質問

微分の計算と微分する変数についてわからないので質問します。
今所得Wを持つ次郎君がこの所得を2つの不確実な資産に振り分けて持つことを考えて、ここで2つの資産はタイプAとタイプBとして、簡単化のためどちらの資産もα1の確率で収益率r1、α2の確率で収益率r2が得られるものとします。
ただしα1+α2=1、r1≠r2です。所得Wをそれぞれの資産に振り分けてもつことを考えるために、Wのβの割合をAに1-βの割合をBに振り分けるものとします。
α1^2の確率で収益は(1+r1)βW+(1+r1)(1-β)W=(1+r1)W。
α1α2の確率で収益は(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W。
α1α2の確率で収益は(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W。
α2^2の確率で収益は(1+r2)βW+(1+r2)(1-β)W=(1+r2)W。・・・(1)と場合分けして、次郎君の効用関数は、u=U(x)でU'(x)=dU/dx>0また次郎君は危険回避的と考えて凹関数、すなわちU''(x)={(d^2)U/d(x^2)}<0とします。(1)より次郎君の期待効用は、
EU=α1^2U{(1+r1)W}+α1α2U{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}+α1α2U{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}+α2^2U{(1+r2)W}・・(2)
Wを２つの資産に配分する最適なβは(2)の期待効用を最大にするβですから。その１階の条件は、ここからがわからない数式です。
dEU/dβ=U'{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}[(1+r1)W-(1+r2)W]+
U'{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}[(1+r2)W-(1+r1)W]=0・・・(3)と教科書には書いてあるのですが自分は、2つのU'の前にα1α2が必要だと思います。α1α2はβの関数U(β)の係数だと思うからです。
さらに(3)を満たすβがEUを最大にするための2階の条件、{(d^2)EU/d(β^2)}を求めると、U''(x)<0とr1≠r2より
U''{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}[(1+r1)W-(1+r2)W]^2+
U''{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}[(1+r2)W-(1+r1)W]^2<0と教科書に書いてあります。
U''(x)<0よりU''{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}とU''{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}が負となる。と考えましたが、微分する変数ｘとβと違っているのでU''(β)<0としていいか疑問がのこりました。
どなたかdEU/dβにおいてU'の前にα1α2が必要かいらないかと、U''(β)<0としていい理由をおしえてください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> dEU/dβにおいてU'の前にα1α2が必要かいらないか

もちろん必要です。
しかし結局のところdEU/dβ=0なのだからα1α2を落とした状態でも大勢に影響はありません。

> U''(β)<0としていい理由

U''(β)<0なんてことは書かれていませんよ。
U''{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}<0 とU''{(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W}<0ですよね。
そして，例えばx=(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)WとすればU''{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}=U''(x)<0です。なにもおかしなところはありません。
U''{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}はU{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}を(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)Wで2回微分したものですよ。

ついでに言うと
U''(x)=(d^2)U/(dx)^2であってU''(x)={(d^2)U/d(x^2)}ではありません。

お礼

お返事ありがとうございます。参考になります。

補足

よろしければお返事ください。
次郎君の効用関数のxはお金の額だから、収益が代入できるんでしょうか？

回答No.6

statecollege

私の回答No5への追記です。所得をβの割合でAへ、1－βの割合でBへ投資したときの期待収益率Eｒがα1r1＋(1-α1)r2となることを確認しておきましょう。

このときの期待収益率Erは
Er = α1^2r1 + α1(1-α1)[βr1 + (1-β)r2] + (1-α1)α1[βr1 + (1-β)r2] + (1-α1)^2r2
= α1r1＋(1-α1)r2
となります。1行目の右辺を展開して2行目の値になることを確かめてください。

お礼

具体的な計算ありがとうございます。

回答No.5

statecollege

>r1≠r2と書いてあるので収益率は変わる、と思うのですが。期待収益率が等しいいとは、
α1^2の確率で資産Aも資産Bもr1。α１α2の確率で資産Aはr1資産Bはr2。
α１α2の確率で資産Aはr2資産Bはr1。α2^2の確率で資産Aも資産Bもr2。
と確率で場合わけしたとき資産Aと資産Bの収益率がひとしいということですか？

Aへ投資した時の期待収益率（収益率の期待値）も、Bへ投資した時のそれも、同じ
Eｒ＝α１r1＋（1－α１）r２
で相等しいということです。収益率ｒは確立変数で、期待値Eｒは上のようになる、ということです。

＞１つの資産の投資が失敗しても、残りの資産から収益を得られるから、リスクが分散されるということでしょうか？

そういうことです。ｒの確率分布はAとBとの間で全く同じで、α１の確率でr1、（1－α１）の確率でr2ですが、Aの収益率とBの収益率は互いに独立の確率変数なので、AとBの両方の資産に投資しておけば、ｒの統計的な意味での収益率の分散（リスク）が小さくなる、ということです。収益率の分散がAあるいはBだけに投資た場合とAとBに半分ずつ投資した時を計算して比べてみてください。

お礼

丁寧な説明と、考えさせられる回答ありがとうございます。

回答No.4

statecollege

f272さんの回答の通りです。
私の第1の回答は補足です。もう一つ補足（蛇足？）を付け加えておきましょう。
EU=α1^2U[(1+r1)W]+α1α2U[(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W]+α1α2U[(1+r2)βW+(1+r1) (1-β)W]+α2^2U[(1+r2)W]≡V(β)
とおくと、
V'(β) = α1α2W(r1-r2){U'[(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W] - U'[(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W]}
V"(β) =α1α2W^2(r1-r2)^2{U"[(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W]
+ U"[(1+r2)βW+(1+r1)(1-β)W]}
となる。後者のV"(β）は右辺のU"(・)＜0より負となる。またV'(β)=0は、β=1/2のとき、かつそのときにのみ成立。つまり、β＝1/2がこの問題の一意の解であることがわかる（なぜ？）
あなたは、V"(β)<0とU"(β)<0とを混同したのではないか？

回答No.3

statecollege

あなたの質問を見ていると、合成関数の微分というのがわかっていないようですね。
それと、この問題の解は微分をしなくても、直感的にβ=1/2ということはすぐにわかります。二つの資産の期待収益率は同一なので、半分ずつ投資してもそれらから得られる期待収益率は変わらない。それだけでなく、所得を二つの資産に分散して投資することで、リスクが分散されるからです。それに対して、β＝１とするなら、期待収益率は（分散しない場合と）同じだが、リスクがより大きくなるから、最適とは言えない、つまり、期待効用はより小さくなる。

お礼

別解の紹介ありがとうございます。

補足

よろしければお返事ください。
r1≠r2と書いてあるので収益率は変わる、と思うのですが。期待収益率が等しいいとは、
α1^2の確率で資産Aも資産Bもr1。α１α2の確率で資産Aはr1資産Bはr2。
α１α2の確率で資産Aはr2資産Bはr1。α2^2の確率で資産Aも資産Bもr2。
と確率で場合わけしたとき資産Aと資産Bの収益率がひとしいということですか？
１つの資産の投資が失敗しても、残りの資産から収益を得られるから、リスクが分散されるということでしょうか？

回答No.2

f272

> 次郎君の効用関数のxはお金の額だから、収益が代入できるんでしょうか？

EU=α1^2U{(1+r1)W}+α1α2U{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}+(以下省略)・・(2)
というのはわかったんだよね。ここでもU{(1+r1)W}とかU{(1+r1)βW+(1+r2)(1-β)W}というように効用関数の引数としてそれぞれの場合の収益を使用しているではないですか。なにをいまさらこんなこととを聞くんだ？

お礼

分からなくなったより前の、効用関数に代入されている数式に注意します。お返事ありがとうございます。