返済のリスクと貸出選択

質問

期待返済額と期待効用の交点がなぜ直線上にくるか、わからないので質問します。
今貸出には、返済のリスクがある場合を考えます。確率qでRという返済が見込まれますが、確率1-qで何も返済されない(返済ゼロ)の可能性があるものとします。この場合貸出からの期待返済額をExとすると、Ex=qRです。この人の効用は、返済額をxとするとU(x)という効用関数として、添付した図のようにあらわされるとします。
すると、この人が貸出をしたら得られる期待効用は、Eu=qU(R)となります。
さてこの人が貸出を行わなければ、貸すことのできる資金Zは確実に手に入りますから、このときの期待効用は、U(Z)です。この人はお金をかすと期待効用Eu、貸さないと(期待)効用U(Z)を得ることになるので、
Eu>U(Z)なら貸出、Eu<U(Z)なら貸し出さない。という選択が行われます。図では資金Z1、Z2、Z3の場合を示しましたが、例えば資金Z1を貸さない時の(期待)効用は、Z1から真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点がU(Z1)となります。しかし、期待返済額Exを真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点が期待効用Euとなりません。期待返済額Exと期待効用Eu=qU(R)を結びつけると、図の線分OB上にあることと、図の線分OBをq:1-qに内分する点になることがわかりません。
どなたかこの２点を教えてくださいお願いします。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

>しかし、期待返済額Exを真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点が期待効用Euとなりません。

これも質問の一部でしょうか？この個人がリスク中立的でないかぎり、つまり、効用関数が一次（効用曲線が直線）でないかぎり、期待返済額の効用と貸出しの期待効用は等しくなりません。もう少し、詳しく言うと
期待返済額の効用＝U(Ex)=U(qR)
であり、一方、
貸出しの期待効用EuE＝ｑU(R)＝qU(R)+(1-q)U(0)=ｑU(R)
だからです。両者が等しくなるのは、効用関数U(・）が一次関数の場合（つまり、この個人がリスク中立的であるとき）だけです。この図のように、効用曲線が上方に凸である（Uが凹関数）であるとき、この個人はリスク回避的であるといい、その場合には図からわかるように、U(qR) > qU(R)となります。

補足

よければお返事をください。期待返済額の効用U(qR)は、赤の効用関数上から読み取れるんですよね？

回答No.7

statecollege

>U(x)が厳密な凹関数の定義は、数学の知識がいりそうですね。
私の回答No.6を再掲すると、

U(x)が厳密な凹関数とは、任意の相異なるx1とx2に対して
aU(x1) + (1-a)U(x2) < U[ax1 + (1-a)x2]
が成り立つときをいう。ただし、ａは0<a<1を満たす任意の定数である。

となりますが、式で考えると難しそうに見えますが、グラフで考えると分かりやすいかもしれません。いま、x1とx2を固定してみましょう。すると、上の不等式の左辺は、点(x1,U(x1))ともう一つの点(x2,U(x2))を結んだ直線上の点を表している。aを０から１まで動かすなら、その線分全体を表している。右辺の[・ ]の中の値ax1+(1-a)x2は、横軸のx1からx2までの区間にある点を表し、aを0から1まで動かすなら、その区間全体[x1, x2]を表すことになる。したがって、U[ax1+(1-a)x2]は関数U(x)のグラフの、横軸のax1+(1-a)x2に対応する点を表している。よって、aを0から１まで動かすなら、横軸の区間[x1,x2]に対応する関数U(x)のグラフの部分を表している。よって、上の不等式は、区間[x1,x2]に対しては、グラフ部分が直線部分より上にくることを示し、どの相異なるx1,x2をとっても、このような関係になるなら、関数U(x)を凹関数というのです。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.6

statecollege

>図の効用関数はリスク回避的の関数のため、{U(qR) , qU(R)}が効用関数上にないという考えでよろしいでしょうか？

回答No.2をよく読んでください。点（Ex,Eu)＝(qR,qU(R))が効用関数上になく、U(Ex)>Eu、同じことだがU(qR)>qU(R)となるのは、効用関数U(・)がリスク回避的効用関数であるから。リスク回避的な効用関数とは、効用関数が厳密な（強い意味での）凹関数のときをいう。U(x)が厳密な凹関数とは、任意の相異なるx1とx2に対して
aU(x1) + (1-a)U(x2) < U[ax1 + (1-a)x2]
が成り立つときをいう。ただし、ａは0<a<1を満たす任意の定数である。

ここで、赤線で表された効用関数が上の条件を満たしていること、したがって、リスク回避的効用関数であることを確かめてください。例あげるなら、効用関数が
U(x)＝√ｘ
で表されるならば、どちらも厳密な凹関数、よってリスク回避的効用関数。

お礼

{U(qR) , qU(R)}は効用と効用の組で、座標上の点にはなりませんね。U(x)が厳密な凹関数の定義は、数学の知識がいりそうですね。何度も間違いを訂正していただきありがとうございます。

回答No.5

statecollege

質問には全部答えたつもりですが、まだ疑問は解消しませんか？

お礼

回答者様から、手をさしのべてくれてありがとうございます。

補足

よろしければ、お返事ください。図の効用関数はリスク回避的の関数のため、{U(qR) , qU(R)}が効用関数上にないという考えでよろしいでしょうか？

回答No.4

statecollege

>期待返済額の効用U(qR)は、赤の効用関数上から読み取れるんですよね？

はいそうです。横軸上のExから上に垂直線を延ばし、効用関数のグラフ（赤い線）とぶつかる点（図には描かれていない）の縦軸の値を読み取れば、それが
U(qR)の値です。

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.3

statecollege

回答２の訂正です。回答２の
＞貸出しの期待効用EuE＝ｑU(R)＝qU(R)+(1-q)U(0)=ｑU(R)
の部分は
貸出しの期待効用Eu＝qU(R)+(1-q)U(0)=ｑU(R)
と直してください。

回答No.1

statecollege

Eｘを垂直に伸ばして直線（線分）OBとの交点をCとしてみると、三角形OEｘCが三角形ORBと相似であることはよいでしょうか？Eu、つまり線分ExCの長さ（高さ）がｑU(R)に等しくなることを知りたいんでしょう。ところが、
OR：OEｘ= 1 : q、分数で書くと、OR/OEｘ＝1/qとなることはいいですか？２つの三角形が相似であることを用いると、RB:ExC = 1: q 、分数で表すと、RB/ExC = 1/q、つまり、EｘC＝ｑRBとなる。Eu = qU(R)となることがわかった、ということです。

お礼

内分点の公式を使わず、Eu = qU(R)となることがわかりました。ありがとうございます。