効用関数

質問

最大効用化をもたらす最適消費量を求めよという問題を解いているのですがわからない部分があり、質問させていただきます。

効用関数がU(X₁,X₂)=X₁^1/3X₂^2/3で所得が120、X₁財が1、X₂財が4なのですが代入法で求めなければならず予約制約式まではわかるのですがどのように代入をすればよいのかわかりません。効用関数が分数乗のときは代入はどのような式になるのでしょうか。
もし教えてくださる方がいればこの分野とても苦手なので細かく教えて頂けたら幸いです。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

statecollege

＞・・・・X₁財が1、X₂財が4なのですが
とありますが、正確には
・・・・X１財の価格が１、X２財の価格が4なのですが
でしょう！正確に書かないから、回答者No1さんのような誤解がでるのです。No2さんの回答で合っています。
別解は、授業で、予算制約下の効用最大化は
MRS＝P1/P2
のとき起こると習ったでしょう、これを利用するのです。ここで、限界代替率MRS＝（∂U/∂X1）/(∂U/∂X2)＝(1/2)X2/X1であり、P1/P2＝1/4であるので、
MRS＝P１/P2　⇒　(1/2)X2/X1 = 1/4 　⇒X1＝2X2
を得る。これと予算制約X1+4X2=120より求める答えが得られる。

回答No.2

f272

予算制約式はx1+4x2=120だからx1=120-4x2と変形して，効用関数u=x1^(1/3)*x2^(2/3)に代入する。
u=(120-4x2)^(1/3)*x2^(2/3)
x2で微分すると
u’=(-4/3)(120-4x2)^(-2/3)*x2^(2/3)+(2/3)(120-4x2)^(1/3)*x2^(-1/3)
u’=((-2)*x2+(120-4x2))*(2/3)*(120-4x2)^(-2/3)*x2^(-1/3)
u’=(120-6x2)*(2/3)*(120-4x2)^(-2/3)*x2^(-1/3)
これが正から負に変わるのはx2=20のときです。このときx1=40ですね。

回答No.1

shintaro-2

>効用関数が分数乗のときは代入はどのような式になるのでしょうか。

関数電卓を使って、そのまま計算するだけです。
4^(2/3)であれば　4の0.666乗あるいは4^2の３乗根ということです。