効用関数

質問

困ってます教えてください
まず問題文がこれです　
　１期と２期の二期間からなる経済を考える。ある家計についてYiでi期の所得、Ciでi期の消費（i=1,2）で表すことにしよう。この家計は各期の所得から各期の消費を決定するが、１期に金利rで自由に貸出（借入）をし、２期に元利の受取（返済）をするものとする。このとき、次の問いに答えなさい。

問題が
この家計の効用関数がU=U（C１,C２）で表されるものとする。
　効用関数Uが
　　　　　　　U=α×C１のβ乗×C２の（1-β）乗　, 0＜β＜1
　で与えられるとき、1期のの消費関数C１＝g（Y１,Y２,r）はどのような形になるか。具体的に求めなさい。

です。よろしくお願いします。

回答No.1

ohirasan

よくある異時点間消費計画の問題ですね。

こういう問題のミソは第２期の消費を第１期の消費で表わすことです。
この問題だと、Ｃ2＝（１＋ｒ）（Ｙ1－Ｃ1）＋Ｙ2と表わせますね。
（Ｙ1－Ｃ1）が第１期の貯蓄（マイナスの場合は借り入れ）ということです。

これを効用関数に代入すると、Ｕ＝αＣ1^β{（１＋ｒ）（Ｙ1－Ｃ1）＋Ｙ2}^（1－β）になりますので、
効用最大化の１階条件を解くと消費関数が出てきます。

私はラグランジュアンで計算してみたところ、
Ｃ1＝β{（１＋ｒ）Ｙ1＋Ｙ2}／（１＋ｒ）
Ｃ2＝（１－β）{（１＋ｒ）Ｙ1＋Ｙ2}
となりました。

コブ・ダグラス型ですし、もうちょっとキレイに出てきそうな気もしますが・・・
計算間違いしてるかもしれないのでご自分で確認してみてください(^^;

私も大学生でミクロのこういう問題を解きまくっています笑
勉強頑張りましょう！

お礼

ありがとうございます
おかげで、なんとかわかりました