線形代数の基底と次元について

質問

大学で線形代数の課題が出たのですが、解き方が分からないので質問させていただきます。

(1)
Kの元を要素とする2×2行列全体の集合Vは、行列の加法とスカラー倍によって線形空間となる。
このとき、Vの次元を求めよ。また、その理由を述べよ。

(2)
Kの元を要素とする2×2の対称行列全体の集合Wは、Vの部分空間となる。このとき、Wの次元と1組の基底を求めよ。

以上の２題なのですが、何を言いたいのかよく分かりません。
どうやって答えを導くのか、計算過程などなるべく詳しく教えて頂きたいです。
どうかよろしくお願い致します。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
Vの次元は
4
次元
e1=
(1,0)
(0,0)
e3=
(0,1)
(0,0)
e4=
(0,0)
(1,0)
e2=
(0,0)
(0,1)
Vの任意の元を
A=
(a,b)
(c,d)
とすると
a*e1+b*e3+c*e4+d*e2
=
a(1,0)+b(0,1)+c(0,0)+d(0,0)
.(0,0)..(0,0)..(1,0)..(0,1)
=
(a,0)+(0,b)+(0,0)+(0,0)
(0,0).(0,0).(c,0).(0,d)
=
(a,b)
(c,d)
=
A=a*e1+b*e3+c*e4+d*e2
となり
e1,e3,e4,e2
はVの基底となり
基底の数は4だから4次元

(2)
e1=
(1,0)
(0,0)
e5=
(0,1)
(1,0)
e2=
(0,0)
(0,1)
とする
Vの任意の元は対称行列だから
A=
(a,b)
(b,d)
と表され
a*e1+b*e5+d*e2
=
a(1,0)+b(0,1)+d(0,0)
.(0,0)..(1,0)..(0,1)
=
(a,0)+(0,b)+(0,0)
(0,0).(b,0).(0,d)
=
(a,b)
(b,d)
=
A=a*e1+b*e5+d*e2
となり
e1,e5,e2
はVの基底となり
基底の数は3だから
Wの次元は
3
次元
基底は
(1,0),(0,1),(0,0)
(0,0),(1,0),(0,1)

お礼

丁寧なご回答、ありがとうございました。