線形代数の問題です。

質問

線形代数の問題です。

行列Ａ＝

2 -1 1
-1 t 1
1 1 2

t∈Cとするとき、
行列Ａの特性方程式が重解を持つようなtを全て求めよ。

【自分の解答】

特性方程式：

det(A-xI) = -(x-3)^2 + (x^3)(x-1)(t-x+1) … (*)

までは変形しました。
(*)が重解をもつのは

x=3(3重解)の他にどのようなものがありますか？
パターンが果てしなくあるような気がして、
行き詰っています。。。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

> det(A-xI) = -(x-3)^2 + (x^3)(x-1)(t-x+1) … (*)
この計算が間違っていますので計算しなおして見てください。
Aが3行3列なので(*)はxの3式のはず、ところが5次式になどなるはずがない！
計算ミスに気が付かないのが不思議！

誤：det(A-xI) = -(x-3)^2 + (x^3)(x-1)(t-x+1) … (*)
正：det(A-xI) = -(x-3)(x^2-(t+1)x+t-2)　…(**)

>(*)が重解をもつのは
>x=3(3重解)の他にどのようなものがありますか？
(*)は間違っていますので先の展開をしても意味がありません。

特性方程式(**)=0の第2項の(x^2-t*x-x+t-2)=0…(***)
は異なる2つの実数解を持つのでx=3が(**)の3重解になる可能性は無い。
なので2重解にしかならず
実際(***)の解の１つは
x=(t+1-√{(t-1)^2+8})/2＜2
でx=3になることは無い。
もう1つの解は
t=2でx=3となるので、このtに対しては(**)はx=3が重解（2重解）になります。

お礼

よく検算をすべきでした。。。
ご指摘ありがとうございました！！！

回答No.1

Tacosan

正直言って全くやる気にはならないけど判別式を持ち出すとか.