線形代数 線形写像

質問

線形代数 線形写像
次の行列Aによって定まる線形写像fAの核および像を求めよという問題です。
先生がもしかしたら次元も求めろと言っていた気がします…汗 意味がわからなかったら自分の勘違いなので大丈夫です！
A＝1 1 -2 -3
2 1 -1 -5
2 3 -7 -7

次の行列Aによって定まる線形写像fAの核および像の次元を求めよという問題です。
A＝1 2 3 4 5
2 5 6 8 10

２問あるのですがお願いします！

答えは載っていたので下に記載しておきます！

回答No.3

noname#201036

その写像がどこからどこへの写像かとか基底を何にしたときの行列なのかという情報がないと解けません。

問題の不備かあるいは（おそらく）質問者の見落としか。

「下に記載しておきます！」とはどれのこと？

回答No.2

misocha

(x,y,z,w)^Tで転置行列…つまり列ベクトル:
x
y
z
w
をあらわすと思ってください。

一問目だけ方針だけを示します。

Aと、四次元実ベクトル空間を掛け合わせると
A*(x,y,z,w)^T=
(x+y-2z-3w,2x+y-z-5w,2x+3y-7z-7z)^T
という線形写像f:R^4→R^3とみなせます。

(余談ですが、逆に線形写像は全て、基底がどの元に行くかを指定すれば定まるので、行列で書けます)
(Asv+Atw=A(sv+tw),ただしAは線形写像s,tは実数v,wはベクトル を考えれば理解できるかも知れませｎ)

そして、核というのは0の逆像、すなわち
(x+y-2z-3w,2x+y-z-5w,2x+3y-7z-7z)^T=0
を満たす(x,y,z,w)全体からなる空間…つまり四次元ベクトル空間の部分空間
像というのは定義域全体を写したもの、すなわち
(x+y-2z-3w,2x+y-z-5w,2x+3y-7z-7z)^T
を満たす三次元ベクトル空間の部分空間のことです。
算出してみてください。

さらに余談ですが、
この行列のランクと像の次元は一致し、像の次元は定義域の次元から核の次元を引いたものと一致します
ヒマなら実際に確かめてみるといいと思います。

回答No.1

Tacosan

で質問は何?