線型代数：部分空間の次元についての問題と解答

質問

「線型代数」(長谷川浩司)〔日本評論社〕のp159に以下の問いと答えがあります。

まず答えの冒頭のKerがよくわからないのですが、どうして[1,2,3,4]になるのでしょうか？

そしてその後、"s*a1"がでてくるあたりから２行（「・・(1次元）」まで）が全くわかりません。
どなたか解説していただけませんでしょうか？
よろしくお願いします。

[問]
R^4 の次の部分空間U1,U2 およびU1 U2, U1+U2の次元はそれぞれいくつか：
U1 = {x = （小さなｔ）[x1,x2,x3,x4]| x1+2*x2+3*x3+4*x4 = 0} ,

U2=Im A,

A=
0 1 2
1 2 3
2 3 4
3 4 5

: R^3 → R^4.

[答]
U1＝ Ker[1, 2, 3, 4], dim U1 = 4-1 = 3. 一方A ＝［a1,a2,a3］ とすると
2*a2＝a1＋a3，したがって U2= Im A は2次元.

s*a1＋ t*a2 ∈　Ker［ 1, 2, 3, 4 ］⇔20*s+30*t = 0 なので　
U1∩U2= R・(3*a1-2*a3) (1次元）．

よってdim(U1+U2) = 3+2-1= 4

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

U1とU2の次元を求めるために、まずU1とU2の定義を確認しましょう。

U1は、x1+2x2+3x3+4x4=0という条件を満たす要素x=[x1,x2,x3,x4]からなる部分空間です。

U2は、行列A=[a1,a2,a3]を使って表される行列の像であり、Im Aとなります。

まず、U1の次元を求めるために、「Ker」という記号について説明します。
Kerは、線型写像において、0ベクトルに写されるベクトルの集合を表します。
ここで、U1を表す条件式から、U1は「0ベクトルに写されるベクトルの集合」であることがわかります。
つまり、U1＝Ker[1,2,3,4]となります。

ここで、「dim」という記号についても説明します。
dimは、部分空間の次元を表す記号であり、次元の数はその部分空間を構成するベクトルの個数と一致します。

したがって、U1の次元はdim U1＝4-1＝3となります。

次に、U2の次元を求めましょう。
行列A=[a1,a2,a3]の条件式2*a2＝a1＋a3から、a1とa3はa2の線型結合であることがわかります。
したがって、行列Aの像であるU2はa1とa3のベクトル空間となります。

U2は2次元のベクトル空間なので、dim U2＝2です。

最後に、U1とU2の共通部分の次元を求めましょう。
s*a1＋t*a2はU1とU2の共通部分であるという条件から、20*s+30*t=0となります。
この条件を満たすsとtの組み合わせは、R（実数全体の集合）の倍数となります。
したがって、U1とU2の共通部分はR・(3*a1-2*a3)となり、次元は1次元です。

最後に、U1とU2の和集合U1+U2の次元を求めましょう。
dim(U1+U2)は、U1の次元とU2の次元を足し合わせて、共通部分の次元を引いたものになります。
したがって、dim(U1+U2)＝3+2-1＝4となります。

以上が問題の回答です。もしこの説明でも理解できない部分があれば、再度ご質問ください。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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