線形代数：標準形について

質問

線形代数の標準形に示すという問題で
例えば
（１）x1^2 - 4x1x2 + x2^2
という場合この2次形式の行列をAとおくと
Aの固有値λはλ＝3、-1より
求める標準形は3x1^2 - x2^2
となるのですがここで用いるλは大きい順に用いるのでしょうか？仮に標準形を-x1^2 + 3x2^2としたら間違いなのでしょうか？
また、
（２） x1^2 + x3^2 - 2x2x3 - 4x3x1 - 2x1x2
という場合λ＝1,-2,3となり
回答では
標準形は x1^2 -2x2^2 + 3x3^2　となっていますがこの場合λの値は大きい順でもなく小さい順でもありません。どのような関係があるのでしょうか？

ご教授願います。

回答No.2

onakyuu · ベストアンサー

追加の疑問についてです。

１）重解がある場合、λ＝０，３，３のようにするの
は、固有値３に対応する固有空間が２次元だからです。
行列による１次変換と考えた時、ある方向（固有ベク
トル方向）への拡大率が固有値になるのですが、固有
値に重解の場合はその方向が一意に決まらないのです。
このとき標準形は、ふつうジョルダン標準形とよばれ
るものになります。

２）最後の項が１次式なので、この式は、２次形式で
はありません。何かの間違いでしょう。

お礼

お礼が遅くなってしまい申し訳ございません。大変参考になりました。2）の問題に関してはご指摘の通り出題ミスでした。ご丁寧なご指導本当にありがとうございました。

回答No.1

onakyuu

どっちでもいいですよ。
固有値の順番は適当でいいのです。

その昔、このような一次変換の計算の一部は大学受験
にでる範囲であったので、大学生向けテキストには
いまでも詳しく書かれてないような気がします。

お礼

なるほど、どちらでもいいのですね。ご教授ありがとうございます。
勉強をすすめていくにつれて二つ疑問点が出てきました。
１）λについて
λ（λ - 3)^2 = 0のような重解の場合、λ=0,3,3として考えるのは何故なのでしょうか？
２）2次形式が6x1^2 + 4x1x2 + 3x2の場合
この2次形式の行列はどのように考えればよいのでしょうか？最後が3x2^2であればわかるのですが・・・。

ご教授願います。