この証明がわかりません

質問

P,QをXの部分集合とし、P,Qが共に閉集合ならばPかつQもXの閉集合であることを証明せよ

回答No.4

tmppassenger

私が最初に書いたのは、No3さんの通りです。

で、取り敢えず「すべての集積点がSに属するならばSを閉集合とする」といっているのだから、
★任意のP∩Qの集積点xに対し、xはP∩Qに属する
ことを言えばよい。

で、「xがP∩Qの集積点」というの（の定義）は何ですか？それが分かったら、xがP∩Qの集積点→xはPの集積点かつ、Qの集積点であることが言えるので、そこから後は直ぐ出るはず。

回答No.3

noname#221368

#1，2さんの言ってるのはこういう事です。

　位相の定義にはだいたい2種類ありまして、一つは近傍系を最初に定義してあなたの言うように開集合を定義します。もう一つは、開集合を先に定義します。開集合系の定義は以下です。

　Ｘの部分集合族Ｏが開集合系であるとは、次の条件を満たす事。
　　(Ｏ1)Ｏに属する集合の任意の合併は、またＯに属す。
　　(Ｏ2)Ｏに属する集合の有限個の共通分は、またＯに属す。

　そして閉集合の定義は、「開集合の補集合である事」です。そうすると(Ｏ1)，(Ｏ1)の補集合を考えれば、

　Ｘの部分集合族Ｃが閉集合系であるとは、次の条件を満たす事。
　　(Ｃ1)Ｃに属する集合の任意の共通分は、またＣに属す。
　　(Ｃ2)Ｃに属する集合の有限個の合併は、またＣに属す。

となり、問題は定義から自明になります。

　憶測ですが近傍系から開集合，閉集合を定義し、開集合，閉集合の性質から、(Ｏ1)，(Ｏ2)や(C1)，(C2)を導き、近傍系による位相の定義と、(Ｏ1)，(Ｏ2)による位相の定義の同等性を示す、という講義の流れになるのかなぁ～と思いました。

　ところでP，Qが閉集合なら、P，Qの全ての点はP，Qの集積点ですよね？。それが閉集合の定義ですよね？。だったらP∩Qの全ての点は、P∩Qの集積点である事は、ある意味
自明だと思えませんか？。

　証明に足る文章にするためにはけっこう苦労するかも知れませんが、けっきょく上記に書いた程度の証明になります。問題は、こういう定性的な話の進め方に慣れてない点だと思います。位相ってじつは、ものすごい定性論なんですよ。

回答No.2

tmppassenger

ついでに、開集合の定義もどうなってますか？

補足

集合Sの各点が内点であるときSを開集合といい
集合Sに関する集積点が必ずしもSに属する点ではないが、もしも、すべての集積点がSに属するならばSを閉集合とすると授業で教わりました。

回答No.1

tmppassenger

閉集合の定義次第によっては「明らか」で終わりなので、ここでの閉集合の定義は何ですか？