証明問題がわかりません>_<

質問

p,qが共に正の数で
p+q=1
の時
f(x)=x＾2について
p・f(x1)+q・f(x2)≧f(px1+qx2)
を証明したいのですが
相加相乗平均を利用しそうだと言う漠然としたことしかわかりません。
解法の指針をお教え願いたく思います。

回答No.1

postro · ベストアンサー

左辺-右辺
=p・f(x1)+q・f(x2)-f(px1+qx2)
=p・(x1)^2+q・(x2)^2-(px1+qx2)^2
=p・(x1)^2+q・(x2)^2-(px1)^2-(qx2)^2-2pq・x1・x2
=p(1-p)(x1)^2+q(1-q)(x2)^2-2pq・x1・x2
=pq(x1)^2+pq(x2)^2-2pq・x1・x2
=pq{(x1-x2)^2≧0

お礼

あれ、相加相乗なんて必要なかったんですね；
確認して計算してみましたが、ものすごいスマートな解答ですね！すっきりしました。ありがとうございます！

回答No.2

rabbit_cat

凸関数の不等式ですね。

高校２年生で、微分を習っているなら、平均値の定理を使って証明できます。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch04/node18.html

f''(x)の符号が逆ですが、適当に読みかえてください。