ＰＱ＝Ｏについての証明

質問

背理法について（難）

２次正方行列Ｐ、Ｑについて、次のことを証明せよ。
ＰＱ＝Ｏ→Ｐ＝ＯまたはＱ＝ＯまたはΔ（Ｐ）＝Δ（Ｑ）＝０

指針 Ｐ２８４でも学んだように、行列においてはＰＱ＝ＯであってもＰnot=ＯであってもPnot=OかつQnot=Oとなることもある。
よって、この「Pnot=OかつQnot=O」の場合に,Δ（P)=Δ(Q)=0となることを示す。
直接は証明しにくいので背理法を利用する。

PQ=Oならば,P,Qについて,次の３つの場合がある。
[1]P=O [2]Q=O [3]Pnot=OかつQnot=O
よって,[3]のとき⊿(P)=⊿(Q)=0となることを示す。
PQ=Oで[3]の場合,⊿(P)not=0と仮定すると,Pは逆行列を持つから,PQ=OからP^-1を掛けて
P^-1PQ=P^-1O よってQ=O
これはQnot=Oに矛盾するから⊿(P)=0
同様に,⊿(Q)not=0と仮定してもP=Oとなり,矛盾が生じる。
よって,PQ=O⇒P=OまたはQ=Oまたは⊿(P)=⊿(Q)=0

教えてほしいところ
要するに、Pnot=OかつQnot=O⇒⊿(P)=⊿(Q)=0を示す。
そのために⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0が成り立たないことを示すということですよね。
何故、⊿(P)not=0を仮定して矛盾を導き、さらに,⊿(Q)not=0と仮定して矛盾を導くと⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0が成り立たないと言えるんですか？？？
誰か教えて下さい

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

いまさらど～でもような気はするが一応突っ込んでおく.
やっていることは
「⊿(P)not=0は成り立たないかつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない」
であって
「⊿(P)not=0かつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない」
ではない.
そもそも「要するに」以降 (より正確にはその次の「そのために」以降) は「いばらの道を自ら選んで進んでいる」だけなんだが, そのことに気づいてない?

回答No.3

Tacosan

無駄に論理で考えると
[(p⇒r)∧(q⇒r)] ⇒ [(p∨q)⇒r]
というだけで, 特に難しいことはないのではないかな. ⇒ をばらして分配法則を逆に使えば同値だってことがわかる.

回答No.2

naniwacchi

#1です。

＞⊿(P)not=0かつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない

？？？そんな論理展開ではないですよね？？？
「ＰＱ＝Ｏである」という条件が飛んでしまっていませんか？

ＰＱ＝Ｏが成り立つとき、Ｐ≠Ｏかつ Ｑ≠Ｏであるならば、ΔＰ＝ 0かつ ΔＱ＝ 0である。
これが示したい内容ですね。

そして、ΔＰ≠ 0である（Ｐ^(-1)が存在する）とすると、ＰＱ＝Ｏより Ｑ＝Ｏ
逆に、ΔＱ≠ 0であるとすれば、ＰＱ＝Ｏより Ｐ＝Ｏが示されてしまいます。
ということです。

＞逆行列と考えれば済む問題かもしれませんが、論理が得意になりたいので式にこだわりたいです。
論理をきちんとするのであれば、式にこだわるのではなくて、言葉できちんと説明できることが重要です。
「⇒」の記号を単に「ならば」とするかしないかだけの違いだとも思いますが。

疑問点がうまくつかみきれていないかもしれません。>_<

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞何故、⊿(P)not=0を仮定して矛盾を導き、さらに,⊿(Q)not=0と仮定して矛盾を導くと
＞⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0が成り立たないと言えるんですか？？？

うーん、まさに「背理法」なのですが・・・

「行列式＝ 0のとき」というよりも、
「ＰもＱも逆行列をもたないとき」を考えていると意識すればいいかと。

逆行列をもつと仮定すると矛盾がでる。よって、逆行列をもたない。
これを行列式を用いて言い換えているだけですね。

補足

⊿(P)not=0かつ⊿(Q)not=0は成り立たない⇒⊿(P)not=0または⊿(Q)not=0は成り立たない
という論法が理解に苦しみます。
逆行列と考えれば済む問題かもしれませんが、論理が得意になりたいので式にこだわりたいです。