「すべての」と「ある」の否定

質問

学校の授業で、「すべての」と「ある」の否定について習ったのですが、
よく分かりません。

最初の方は分かったのですが、応用として、
「∀x(pかつq）」の否定⇔∃x(pでないまたはqでない)
「∀x(p⇒q)」の否定⇔∃x(pかつqでない)
と習ったときにはさっぱり分かりませんでした。

どなたか細かく教えていただけないでしょうか？

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞「∀x(pかつq）」の否定⇔∃x(pでないまたはqでない)
「∀x(pかつq）」の否定は、∃x｛（ｐかつｑ）の否定｝　です。
（ｐかつｑ）の否定は、（ｐでない　またはｑでない）なので、
⇔∃x(pでないまたはqでない)

「∀x(p⇒q)」の否定⇔∃x(pかつqでない)
「∀x(p⇒q)」の否定は、∃x｛(p⇒q)の否定｝です。
(p⇒q)は、　　　（ｐでないまたはｑ）と同値（真理表が同じ）なので、
(p⇒q)の否定は、（ｐかつｑでない）　なので、
⇔∃x(pかつqでない)

でどうでしょうか？

お礼

丁寧なご回答、ありがとうございました。
よく分かりました。

回答No.3

Caper

● より簡単な例に、まず、取り組んでみてはいかがでしょうか。

● 例えば、全体集合 (= 普遍集合 ) を、いま、自然数全体の集合と定めることにします。言い換えれば、変数 x の変域を、いま、自然数全体の集合と定めることにします。自然数全体の集合は、{1, 2, 3, … } と表記されることが多々あります。
　 そこで、次の 2つ の命題に取り組みます。

1) すべての x について、x の 2乗 は 0 より大きい。
　 ∀x ((x の 2乗) > 0)

2) ある x について、x の 2乗 は 0 より大きい。
　 ∃x ((x の 2乗) > 0)

　 いま、((x の 2乗) > 0) を p(x) と置くことにします。言い換えれば、p(x) = ((x の 2乗) > 0) とします。このとき、1) 2) は、次のとおりに表記することもできます。

1) ∀x (p(x))
2) ∃x (p(x))

●「 かつ 」を表わす記号として、∧ を用いることにします。「 または 」を表わす記号として、∨ を用いることにします。
　 このとき、1) 2) は、次のとおりに書き改めることができます。

1) p(1)∧p(2)∧p(3)∧ …
　 別の書きかたをすれば、
　 ((1 の 2乗) > 0)∧((2 の 2乗) > 0)∧((3 の 2乗) > 0)∧ …

2) p(1)∨p(2)∨p(3)∨ …
　 別の書きかたをすれば、
　 ((1 の 2乗) > 0)∨((2 の 2乗) > 0)∨((3 の 2乗) > 0)∨ …

● このとき、1) 2) のそれぞれの否定が次のとおりであることは、もうおわかりになりますよね。( ド・モルガンの法則 )
　 ≡ は「 同値 」を表わす記号です。

1) の否定
　 ≡ (∀x(p(x))) の否定
　 ≡ (p(1)∧p(2)∧p(3)∧ …) の否定
　 ≡ (p(1) の否定)∨(p(2) の否定)∨(p(3) の否定)∨ …
　 ≡ ∃x(p(x) の否定)

2) の否定
　 ≡ (∃x(p(x))) の否定
　 ≡ (p(1)∨p(2)∨p(3)∨ …) の否定
　 ≡ (p(1) の否定)∧(p(2) の否定)∧(p(3) の否定)∧ …
　 ≡ ∀x(p(x) の否定)

● 以上のことを、念頭に置いた上で、ANo.2 における ferien さん のご回答をお読みください。

● 私はそこつ者です。以上の記述の中にあやまりが含まれている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。
　 また、理解しづらい個所がございましたら、[ 補足 ]欄 を利用するなどして、遠慮なくお知らせください。

お礼

丁寧なご回答、ありがとうございました。
よく分かりました。

回答No.1

Tacosan

その「最初の方」はどうなっているのですか?

お礼

解答ありがとうございます。
∀xp(x)の否定⇔∃xp{(x)の否定}の所までは理解できました。