次のような命題を区別する名称を教えて下さい。

質問

次のような命題を区別する名称を教えて下さい。

１、二つの命題PとQからつくられる命題
　　PならばQ

２、二つの条件p(x)とq(x)からつくられる命題
　　p(x)ならばq(x)

共に単に含意命題としか表現できないのでしょうか？
また、命題を視覚的にとらえるためにベン図ですが、
１の場合はPとQ真偽を表示する円を、四角の中に一部重なるようにを二つ描いて、円Pの円Qと重なってない部分だけを除いて、塗りつぶす。
２の場合は、成り立つときだけ、p(x)を満たす元の集合Pを表す円をq(x)を満たす元の集合Qの円の中に描き、集合Pを表す円の内部を塗りつぶす。
これで正しいのでしょうか？

回答No.4

boiseweb · ベストアンサー

「命題をベン図で表す」流儀は，是非はともかく，現実にはかなり広く流布しています．
特に，公務員試験対策本にはこの流儀がかなり広まっているいるようです．
Wikipediaのベン図・論理演算関係の項目にも，そのような例はたくさんあります．

結論を先に述べます．「命題をベン図で表す」ことについて，私の見解は次のとおりです．
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(1) 「正しい」か「正しくない」かについては，ノーコメント．
(2) 初学者に数学の論理を教えるメソッドとしては著しく不適切であり，推奨すべきでない．
(3) 私自身は，数学の論理を教えるメソッドとしては絶対に採用しない．
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「命題をベン図で表したもの」を観察すると，次のようになっています．

(a) マルはP,Qなどの命題変数に対応づけられている．
(b) マルで区切られた領域は，「命題変数への真理値の割り当て」を表現している．
(c) マルの内部/外部は，それぞれ，対応する命題変数に「真」/「偽」の真理値を割り当てた状況に対応づけられている．

つまり，明確に「集合ではないもの」をベン図で表しています．
「ベン図とは集合を表すものであって，それ以外の解釈はあり得ない」という立場を明言するなら，「命題をベン図で表す」ことは誤りです（Wikipediaでは「ベン図」の項目で「複数の集合の関係や，集合の範囲を視覚的に図式化」と明言しているので，命題をベン図で表すことは自己矛盾で，全面的に訂正されるべきだと思います）．

ところで，「ベン図とは集合を表すもの」という先入観からいったん離れて，「命題をベン図で表す」とはどういうことか？ と冷静に観察すると…
実は，それは「真理値表」あるいは「カルノー図」の表現形態のひとつと思えば，妥当な解釈が可能です．また，命題演算と集合演算は代数系として同じ構造なので，集合演算をベン図で視覚的に把握するのと同じ要領で，命題の真理値の演算をベン図で視覚的に把握することも，やはり妥当に実行可能です．
したがって，「ベン図の解釈を拡張して『命題をベン図で表す』という流儀を正当化して，論理の教育に積極的に取り入れるべし」という意見も，あるかもしれません．

以上の観察をふまえての私の意見は，やはり，最初の(2)で述べたとおり「『命題をベン図で表す』メソッドを論理の教育に持ち込むことは著しく不適切であり，反対」です．
「ベン図は集合を表すもの」という認識はあまりに広く普及しているので，「命題をベン図で表す」という流儀は（たとえ，それなりの妥当性を認めうるとしても），命題・述語・集合の区別に無用の混乱を持ち込み，初学者が数学の論理を正確に理解することを妨げるからです．

ただし，上述の議論をすべて完璧に理解できる人が，自分自身の思考のためだけに「命題をベン図で表す」のは，その人の自由だと考えます．

お礼

丁寧な解説有り難うございます。
自分の中で何となく理解はしていたのですが、
それを確信にかえてくれる本や人に出会えなかったのですごく助かりました。

回答No.3

alice_44

←No.1 補足
そうですね。
だから、貴方のように混乱する人がでるのでしょう。
P(x)⇒Q(x) をベン図で表すときに、P(x) を表すマルは、
｛ x ｜ P(x)が真 ｝という集合を表しています。
命題論理の式 P⇒Q には、集合になる部分がありません。
教科書の例を、よく調べてみてください。
P⇒Q と書いてあっても、内容は P(x)⇒Q(x) の話になっているハズです。
そういう扱いが、初学者を惑わせるんですが。

お礼

＞だから、貴方のように混乱する人がでるのでしょう。
全くその通りだと思います。

回答No.2

boiseweb

呼び分けのための定着した名称が存在しないのは，たぶん，あえて呼び分ける必要がない（通常，ひとつの文脈では1か2のどちらか一方だけが現れるので，区別する必要が発生しない）からだと思います．私も，呼び分けのための名称をことさらに与える必然性を感じません．

後半については，手前味噌ながら，
http://okwave.jp/qa/q4144011.html の #4（ベストアンサー）
を参考にしてください．

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（蛇足）
一部の領域が塗り潰されたベン図は，見る人に「塗り潰された領域が表す『集合』を指し示す意図で図を提示している」という印象を与えます．
ご質問の2の場合，表現したいのは『集合』ではなくて（ある集合が別の集合に包含されているという）『状態』なので，「塗り潰す」ことが適切かどうかは議論の余地があります（少なくとも塗り潰しは「必要でない」）．

お礼

>後半については，手前味噌ながら，
http://okwave.jp/qa/q4144011.html の #4（ベストアンサー）
を参考にしてください

わかりやすいです。ありがとうございます。
ところでwikipediaの論理包含のページにあるベン図は間違いなのでしょうか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/論理包含
宜しくお願いします。

回答No.1

alice_44

１ を「命題論理における含意」、
２ を「述語論理における含意」とでも呼び分けては？

ベン図が適するのは、２ だけです。
１ をベン図で書こうと思うこと自体、
命題論理と述語論理の区別が付いてない証拠。

お礼

＞１ をベン図で書こうと思うこと自体、命題論理と述語論理の区別が付いてない証拠。
でも、持っている論理学の本の中には、１の場合をベン図を使って真偽を表現しているものもあります。
特に論理学の入門的な本や高校生レベルを対象とした本です。