数学の証明なのですが・・・。

質問

集合の証明に関してなのですが、証明ができません・・・。
どなたか時間に余裕のある方、手間をおかけしますが証明をお願いします。
2問あり、どちらか1問でも構いません。

1つ目--------------------------------------------------------

A∪B=｛ x| P(x) ∨ Q(x) ｝

A∩B=｛ x| P(x) ∧ Q(x) ｝

PやQを人や組織など、具体的な例で示してくださるととても助かります。

2つ目--------------------------------------------------------

『Aを空集合でない自然数の集合とする。このときAは最小の数をもつ』

というのを数学的帰納法で証明する。

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以上2つです。自分でも解いてみたのですが、どうも数学（特に証明）が苦手で・・・。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

1つ目は、そもそも何が「質問」なのか良く分からないのでパス

2つ目については、
＊考え方1
　Aは「空集合でない自然数の集合」と言っているのだから、
　少なくともある自然数nがAに属しています。このnについて
　数学的帰納法を適用すればよいです。
　！例えばn=0の時（i.e. 0がAに属している）時は、Aに最小限が
　　あるのは明かですね。

＊考え方2
　実質考え方1と同じですが、記述の方法として私は対偶を示す
　方が好きです。この場合、対偶は
　「Aが自然数の集合で最小限が存在しないものとすると、
　　Aは空集合である」
　となります。これを示すには、「n以下の数はAに属さない」
　という仮説を立て、nに対して数学的帰納法を適用すればよいです。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。

1つ目はそうですね・・・。自分でもどう質問したら良いか分からないのですが、1つ目の式を学校や生徒などの一般的な事柄を使って意味を教えていただけたら嬉しいです。

回答No.2

tmpname

「学校や生徒などの一般的な事柄を
　使って意味を教えていただけたら」

そういう事をしようとしても変に理解した気に
なるか誤解するかだけです。数学上の記述は
あくまで数学上の定義等を確認してから数学の
範囲で理解しましょう。
そもそもAやBとPやQはどういう関係にあるの
ですか？そういった事から一つ一つ確認しま
しょう。

お礼

そうですね・・・もう少し頑張って考えてみようかと思います。

ありがとうございました。