虚数の積分の問題を教えて下さい。

質問

この積分の問題を教えて下さい。
(-πからπ)∫{(e^x)(e^ix)}dxです。
iは虚数なのでどうすればいいのかわかりません。
オイラーの公式を使うんでしょうか？
分かる方、お願いいたします

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

オイラーの公式を使います。
そうするとあなたの直前の質問
質問No.9063611
の結果(私のANo.1の回答のI,J)が使えます。

K=∫(-πからπ) {(e^x)(e^ix)}dx
=∫(-πからπ) {(e^x)(cosx+isinx}dx
=∫(-πからπ) {(e^x)cosx}dx+i ∫(-πからπ) {(e^x)sinx}dx
=J+i I
ここであなたの直前の質問での私の回答ANo.1の
I={(e^π)-(e^(-π))}/2, J={-(e^π)+(e^(-π))}/2
を代入すると
K={-(e^π)+(e^(-π))}/2+i{(e^π)-(e^(-π))}/2
=(i-1)(e^π)/2+(1-i)(e^(-π))/2 ... (答)

お礼

ありがとうございます

回答No.2

bran111

I=(-πからπ)∫{(e^x)((e^ix)}dx
=(-πからπ)∫{e^((1+i)x)}dx

1+iは複素数ではあるが単なる定数と扱えばよい。

I=(-πからπ)[e^((1+i)x)/(1+i)]
=[e^((1+i)π)-e^(-(1+i)π)]/(1+i)

e^(iπ)=e^(-iπ)=-1, 1/(1+i)=(1-i)/[(1+i)(1-i)]=(1-i)/2
を用いて
I=[e^(-π)-e^π](1-i)/2

お礼

有難うございます
解決しました