積分の問題

質問

積分の問題

∫x^3・e^(-x)dx　積分区間は０→∞です。
これと
∫x^6・e^(-2x)dx 積分区間は０→∞です。
上の２問についてです。
この二つは部分積分法で解こうとすると不定形がでてくるので不可能でした。
そこで、広義積分という方法が考えられますが、どのように解いていいのか分からないんです。
教科書等は読んで理解しましたが、例題にはe^(-x)のようなものがでてこず、1/(x^2)+1のような分数関ばかりなので困っています。
分かる方、お力を貸してください。
宜しくお願いします。

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

int[0,∞]x^3e^{-x}dx
=[-x^3e^{-x}][0,∞]+3int[0,∞]x^2e^{-x}dx

この[-x^3e^{-x}][0,∞]の部分ですが、

x^3e^{-x}のx→∞のときの極限を考えましょう。
f(x)=log(x^3e^{-x})=3log(x)-x.
微分するとf'(x)=3/x-1.
f'(x)<-1/2,(6<x).
両辺6からxまで積分して
f(x)-f(6)<-(x-6)/2→-∞,(x→∞).
つまりf(x)→-∞。
したがってx^3e^{-x}→0.です
x^3ではなくても、一般にkとして同じように計算できます。

この不定形が解決できればあとはできるでしょう。

お礼

ご解答ありがとうございます。
頑張って考えたんですが、
f'(x)<-1/2,(6<x).
両辺6からxまで積分して
f(x)-f(6)<-(x-6)/2→-∞,(x→∞).
つまりf(x)→-∞。
の部分が理解できません。
なぜいきなり6<xという条件が生まれたのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.1

Tacosan

具体的にはどのように計算を進めていってどこで困っているのですか?

補足

まず、広義積分で解く場合どのようにして解答を書いていけばよいか分からないんです。
初めからつまずいてしまっているんです。