- ベストアンサー
広義積分の問題を解く方法と公式
- 広義積分の問題を解く方法と、いくつかの公式について説明します。
- 具体的な問題として、広義積分の計算例をいくつか示します。
- また、広義積分に関連するガンマ関数やベータ関数についても紹介します。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
1 (a) ∫(r～∞)(1/x^2)dx=[-1/x]_{r～∞}=1/r (b) r>0 ∫(0～r){1/√(r-x)}dx=2√r∫(0～π/2)sintdt=2√r[-cost]_{0～π/2}=2√r (c) k>0 ∫(-∞～0)e^{kx}dx=[e^{kx}/k]_{-∞～0}=1/k (d) ∫(0～1)(1/x^{2/3})dx=[3x^{1/3}]_{0～1}=3 (e) ∫(1～∞)[1/{x(1+x)}]dx=∫(1～∞)[(1/x)-{1/(1+x)}]dx =[logx-log(1+x)]_{1～∞}=[-log{1+(1/x)}]_{1～∞} =log2 (f) ∫(0～1)√{x/(1-x)}dx=∫(0～π/2)(1-cos2t)dt=[t-(sin2t)/2]_{0～π/2}=π/2 2. (a) ∫(-1～1)(1/x)dx =∫(-1～-0)(1/x)dx+∫(+0～1)(1/x)dx =-∫(+0～1)(1/x)dx+∫(+0～1)(1/x)dx =0 (b) ∫(-1～1)(1/x^2)dx=∫(-1～-0)(1/x^2)dx+∫(+0～1)(1/x^2)dx =2∫(+0～1)(1/x^2)dx=2[-1/x]_{+0～1}=∞ (c) ∫_{-R～R}{1/(x^2+1)}dx+∫_{z=Re^{it},0≦t≦π}{1/(z^2+1)}dz =(2πi)Res[1/(z^2+1),i]=(2πi)lim_{z→i}{1/(z+i)}=2πi/(2i)=π ∫(-∞～∞){1/(x^2+1)}dx=π 3. (a) I=∫(0～π/2)log(sinx)dx 0≦x≦π/2 t=π-x dt=-dx π/2≦t≦π sinx=sin(π-t)=sint ∫(0～π/2)log(sinx)dx=∫(π/2～π)log(sint)dt=∫(π/2～π)log(sinx)dx π/2≦x≦π t=x-π/2 dt=dx 0≦t≦π/2 sinx=sin(t+π/2)=cost ∫(π/2～π)log(sinx)dx=∫(0～π/2)log(cost)dt=∫(0～π/2)log(cosx)dx (b) 0≦x≦π x=2t 0≦t≦π/2 dx=2dt 2I=∫(0～π)log(sinx)dx=2∫(0～π/2)log(sin2t)dt =2∫(0～π/2)log(2sintcost)dt =2∫(0～π/2){log2+log(sint)+log(cost)}dt =2[∫(0～π/2)(log2)dt+∫(0～π/2)log(sint)dt+∫(0～π/2)log(cost)dt] =πlog2+4I 2I=-πlog2 I=-(π/2)log2 4. s>0 Γ(s+1)=∫_{0～∞}e^{-x}x^sdx=[-e^{-x}x^s]_{0～∞}+s∫_{0～∞}(e^{-x})x^{s-1}dx =s∫_{0～∞}(e^{-x})x^{s-1}dx =sΓ(s) 5. p>0,q>0 B(p,q)=∫_{0～1}x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx z=1-x dz=-dx B(p,q)=∫_{0～1}x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx =-∫_{1～0}(1-z)^(p-1)z^(q-1)dz =∫_{0～1}z^(q-1)(1-z)^(p-1)dz =B(q,p)
