虚数の入った積分

質問

微分するときは虚数が入っていても定数のように扱えるわけですが、積分の場合はどうなのか知りたいので質問させていただきました。
たとえば以下のような場合です。
∫i*cosxdx (積分範囲は0から2π)
この場合微分のときと同じようにiを定数として扱えばよいのでしょうか？それとも複素積分?というものを使わないといけないのでしょうか？
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

tuort_sig · ベストアンサー

積分した関数を微分すると元に戻ります。（微分積分学の基本定理）

∫i＊cosxdx＝i＊∫cosxdx＝i＊sinxとなります。
では、確認のためにi＊sinxを微分してみます。
微分するとき虚数が入っていても定数のように扱えるということをご存知ですね。
(i＊sinx)'＝i＊cosxとなり∫i＊cosxdxの被積分関数に一致します。

結論

積分の場合も微分の場合と同様に虚数を定数のように扱えます。
数学の場合大抵、双対性という性質があり、この場合微分と積分の双対性により、自然に導かれるのです。

お礼

なるほど、定数のように扱っていいのですね。ありがとうございました。

回答No.4

rangeru

i＝√（－１）

という数なので、定数として扱えます。

お礼

なるほど、分かりました。ありがとうございました。

回答No.3

noname#26313

区間 [a,b] で定義された連続函数、f(t) を
f(t)=X(t)+i・Y(t)
とするとき、積分、∫[a,b]f(t)dt
は、∫[a,b]f(t)dt=∫[a,b]X(t)dt+i・∫[a,b]Y(t)dt
と定義されます。
従って、恰も、「i」を定数のように扱って積分を求めることができます。

お礼

なるほど、定数扱いでいいのですね。ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

定数として扱っていいですよ。

お礼

なるほど、分かりました。ありがとうございました。