積分の問題です

質問

原点を中心とし、半径Rの円周上を反時計回りに一周する周回積分路を考える。
f(z)=1/z^2+4z+1とする。z=e^iθとおいてオイラーの公式を用いるとこの積分からI=∫(0→2π)dθ/cosθ+2が求められることを示し、値を求めなさい。

お願いします。

回答No.3

alice_44

z = eのiθ乗 と置くと、1/z = eの-iθ乗 より、
cosθ = (z+(1/z))/2 です。
オイラーの等式から派生する三角関数の公式
cosθ = (eのiθ乗 + eの-iθ乗)/2 は、
是非、知っておくべきでしょう。
また、dz/dθ = i(eのiθ乗) = iz ですから、
dz/(zz+4z+1) = izdθ/(zz+4z+1)
= idθ/(z+4+(1/z))
= idθ/(2cosθ+4)
= (i/2)dθ/(cosθ+2)
となります。

後半の計算は、多分それでいいような気がします。
答えは、それで合っています。
補足の文面からは、留数を求めた計算過程が
よく判りませんが。留数の値も、合っていますしね。

回答No.2

alice_44

f(z)=1/(z^2+4z+1) ですね？
z=e^(iθ) で置換すると、オイラーの公式も使って、
∫[|z|=1] f(z)dz = (i/2) ∫[0≦θ≦2π] dθ/(cosθ+2) と変形できますから、
左辺の閉路積分が計算できれば、∫[0≦θ≦2π] dθ/(cosθ+2) も求まります。
ここで、留数定理の出番です。
f(z) の極は二次方程式を解けば求められますから、
極のうち |z|≦1 の範囲にあるものはどれかをチェックして、
左辺に留数定理を適用しましょう。

上記をやってみたら、途中まででも補足に書いてください。
正誤と修正点についてコメントします。

補足

回答ありがとうございます。

「∫[|z|=1] f(z)dz = (i/2) ∫[0≦θ≦2π] dθ/(cosθ+2)と変形できる」とありますが、この変形はどのように行われているのでしょうか。

この後の変形や留数の定理に関しては

z^2+4z+1=(z+2)^2-3
z=-2±√3のうち、-2+√3が単位円の内部にある。その点の留数は
1/{(-2+√3)-(-2-√3)}=1/(2√3)
f(z)の単位円上の積分は
∫f(z)dz=2πi・(1/2√3)=πi/√3
但し、∫(0→2π){1/(cosθ+2)}dθ=(2/i)∫f(z)dz=2π/√3

これでよろしいでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

noname2727

？？？
半径Rの円周上を反時計回りに一周する周回積分路ですよね？
ちょっと問題文がおかしくないですか？