e^(i*n*y) の積分

質問

e^(i*n*y) の積分

初めまして。grande と申します。宜しくお願い致します。

∫[0, 2π] e^(i*n*x)dx = 2*π*δ(n,0) ( n = 0, ±1, ±2, ... ) (1.1)

の式に関しまして、ご質問致します。
i は虚数を表しています。δは、クロネッカーのデルタです。
以下、積分区間は、0から2πとし省略させて頂きます。

オイラーの公式より、
e^(i*n*x) = cos(n*x) + i*sin(n*x) (1.2)
ですので、(1.1)は、
∫e^(i*n*x)dx = ∫cos(n*x)dx + ∫i*sin(n*x)dx (1.3)
になります。(既に、この部分が違うのでしょうか・・・、とりあえず進めます）
ここで、sin(n*x) は奇関数なので、積分結果が 0 になり、(1.3) は、

∫e^(i*n*x)dx = ∫cos(n*x)dx = (1/n)*sin(2π*n) - (1/n)*sin(0*n) = 0

になります。
(1.1) の段階で、n = 0 とした場合に、(1.1) が成り立つのは承知しておりますが、解き下した場合、n = 0 とすると、1/n の部分でお手上げになってしまいます。

ご質問は、
(1.1) の式を解き下した際に、きっちりと成立することを教えて下さい。

こういう掲示板でご質問させて頂くのが初めてなので、書き方や質問の仕方等、無礼があるかもしれません、申し訳ございません。そういった点も含めて、今後学習していくつもりですので、ご配慮下さい。

ご質問の件、どうぞよろしくお願い致します。

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grande

回答No.2

haragyatei · ベストアンサー

n=0時はcos0なので定数1となります。
したがって特別に扱って（そうしないと1/nが定義できない）
∫1 dx は面積から2*πになります。これらをクロネッカーのδを使って 2*π*δ(n,0)と書いたにすぎません。直流分のフーリエ変換に当たり区域が0から無限大のときはほんとうのδ関数が現れます。

お礼

haragyatei 様

ご回答、ありがとうございます。
理解できました。これで、先に進めます。

回答No.1

aquatarku5

n=0を与式に代入すれば、

∫[0, 2π] e^(i*0*x)dx = ∫[0, 2π] dx = 2π

n≠0では、質問者様の導出の通りですので、結局(1.1)は成立する。

お礼

aquatarku5 様

ご回答、ありがとうございます。

haragyatei 様のご回答のほうが、幾分か分かりやすかったので、そちらをベストアンサーに選択させて頂きました。ご了承下さい。