虚数と無理数について教えてください

質問

オイラーの公式 で導出できる結果について、教えてください。

　ｅ^(ix)=cos x + i sin x 　・・・(1)
（オイラーの公式）を変形したいくと、
　ｅ^(iπ)=－１　・・・・・・。・(2)
　となるのはご承知のとおりです。

　また、(1)で　ｘ=π/２とし、両辺に　ｉをかけると
　ｅ^(-π/２)=i＾i　・・・・・・・(3)

　上の(3)の値は、０．２０７８７・・・・　・・・(4)

　ここで質問です。
　（高校生です。できれば、高等な数学式より、考え方で教えてください）

１　なぜ(2)の値が「－１」と実数になるのかが、感覚的にわかりません。
　[理由]　整数の数も、無限大ですが、無理数や少数の数は「無限大のレベルが異なる（無限大より大きな無限大）」と何かで読みました。
　このことから、「無理数の虚数無理数乗」がなぜ、整数になるのか想像できません。たまたま偶然だとは確率から考えられません。

　ｅの意味を知りません、教えてください。ｅは、『リミットｔ→∞〔（１＋ｔ）〕の1/t乗』の定義は習いましたが、この定義にどういう意味があるのかが分かりません。定義にπが関係しているので、実数になるのでしょうか。

２　(3)の実計算値、ｉのｉ乗がなぜ　正の実数「約０．２・・（無理数）」の値になるのか、感覚的に意味がわかりません。どのように考えればよいのでしょうか教えてください。

　実数では、ｘのｘ乗は、約０．６９より小さくならないのは、感覚的に理解できますが・・・。
　ｉに大きさ（スカラー）はあるのかもわかりません。

　僕自身わけのわからない質問と思っていますが、よろしく回答をお願いします。

回答No.4

Ki4-U2 · ベストアンサー

みなさんの回答に「複素数平面」、「円」などとあるように、
「複素数は平面（2次元）を表すのに便利な考え方」、と思っていただくのがいいでしょう。
実数は1次元。数直線を左右に引いて右向き（時計盤の3時方向）が正、左向き（9時）が負。
そこに上下方向の数直線を引いたのが虚数で、上向き（12時）が正、下向き(6時)が負。

e^ix は、角度x[rad]の回転（反時計回りが正）を表します。

x=π[rad]=180[度]のとき、ベクトルが180度つまり正反対の方向、9時丁度の方を向く、つまり -1 。
x=π/2[rad]=90[度]のとき、反時計回り90度の回転、ベクトルが真上(12時)を向き、 i 。
x=5π/3[rad]=300[度]のとき、反時計回り300度（時計回り60度）の回転、ベクトルが5時丁度を向く、つまり 1/2 - (√3/2)i 。
x=2π[rad]=360[度]のとき、1周して元に戻る、つまり3時丁度の方向で 1 。

こんな感じでどうでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
　おかげで、おぼろげですが理解できました。

回答No.3

rabbit_cat

実数で定義されている関数（実数関数）を、複素数上で定義されている関数（複素関数）に広げたい場合、
一般的に、「解析接続」という方法を使います。
簡単に言えば、微分係数が連続になるようにつなげていくことです。複素平面は２次元なので、微分可能となるためには、３６０度、すべての方向から近づいたときの方向微分が一致しないといけません。これは、ものすごく強い条件なのです。
で、実は、これを満たすようにして、かつその微分係数が連続になるようにする定義域の拡張のやり方は１つしかありません。それが「解析接続」です。
具体的には、テイラー展開を、その収束範囲内でつなげていきます。

実数関数としての指数関数を解析接続して、複素関数に拡張すると、オイラーの公式になります。
よく、e^x，sinx，cosxのマクローリン展開を使って、オイラーの公式を証明していますが、これはつまり、解析接続をしているわけです。

ちなみに、(3)ですが、
i^i = e^(-π/2-2nπ)
で(n:整数)で、無限個の値を持ちます。
決して、
i^i = e^(-π/2)
ではないので、注意してください。
複素関数として指数関数を考えると、
i^iの値として、e^(-π/2)だけを認めて、他を排除する理由が全くないです。

大学になって複素関数を勉強すれば、もうちょっとわかるのかもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　rabbit　catさんの回答内容は、僕の知識を超えています。理解できなくてごめんなさい。
　後で、少し調べてみます。
　僕は、物理のほうに興味があるので、ｅやｉがどういう意味を持つのか、またどういうように使いこなせばよいのかを知りたくて質問しました。

回答No.2

yumisamisiidesu

>１　ｅ^(iπ)=－１　と実数になるのかが、感覚的にわかりません。

そもそも虚数乗の定義が形式的で感覚的でないと思うので直感的な解釈を見出すのは難しいと思いますが、単位円状の回転を表すことに対応している考えるのがもっとも普通の考え方だと思います.なので以下の「理由」のところはあまり関係ないと思えてしまいますが、実際はよくわかってません.

>ｅの意味を知りません、教えてください。ｅは、『リミットｔ→∞〔（１＋ｔ）〕の1/t乗』の定義は習いましたが、この定義にどういう意味があるのかが分かりません。定義にπが関係しているので、実数になるのでしょうか。

過去に似たような質問があったので探してほしいと思いますが指数関数を微分しても定数が変わらないようにするために使われてる便利な数だと理解していたらいいと思います.

お礼

ご回答ありがとうございます。
　πは小学生でも理解していると思いますが、ｅやｉを僕自身よく理解できていなかったので、質問しました。
　過去の回答は、ｉ^ｉの計算結果などの質問は、調べて見つけることができましたが、この質問に似たようなものを見つけることができませんでした。

回答No.1

masa072

eというのはネピア数と呼ばれるものです。
この数が用いられる理由は、eを自然対数の底として用いたときに、(log x)'=1/xとなるからです。
eは実数ですが無理数（超越数）です。

確認ですが、
有理数…分数で表される数（整係数1次方程式の解になる数とも言えます）。
無理数…実数のうち有理数でないもの。無限小数で書ける数
虚数…実数とは異なり、現実世界に存在しない数。i^2=-1と定義できるiを用いて表す。

e^(ix)=cos x+isin xは無理数です。
図形で書くと、複素数平面(x,iy平面)で単位虚数円になります。
πのとき、実数平面(xy平面)の単位円上ではx=-1の点になりますよね？
複素数平面で考えれば、πのとき単位虚数円上ではx=-1の点になります。だからe^(iπ)=-1となります。

また、i^iが実数であることは以下のように示せます。
z=re^(ix)とすると、log z=log r+ixとなります。
(rは正数,底はe)
すると、log (i^i)=ilog(i)=ilog(e^(iπ/2))=i*iπ/2=-π/2
となります。
よってi^iは実数となります。
e^(-π/2)=(1/e)^(π/2)の値は関数電卓で計算してみてください。

数学には偶然はありません。全てか理論に裏付けられたことです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
　Ｎｏ３の方の回答と同時に読ませてもらいました。
　複素平面を想像して、ぼやっとですが理解できました。

　ｅやｉは、数学的な解析が、便利になるように、人間が考え出したと、考えても良いのでしょうか。