積分の問題教えてください

質問

積分の問題教えてください
1,部分積分
(1)∫xe^(2x) dx
(2)∫xsin2x dx
(3)∫(logx)/(x^3) dx
(4)∫log(1＋x) dx
2,置換積分
(1)∫(dx)/(2x＋1)^3
(2)∫x((x^2)＋1)^5 dx
(3)∫x(e^(－x)^(2)) dx
(4)∫cos^(3)xsinx dx
(5)∫e^(x)cosx dx
の9問です。
どうかお願いします。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

#1さんも書かれていますが、「計算問題」ですから自分でまず計算をしてください。
どこまでやったけど、ここで行き詰ったということを示してもらうと、
指摘もしやすいですし、質問者さん自身の理解も深くなると思います。
単に、「計算はこうです。」「そうですか。」だけでは身に付きませんよ。＾＾；

方法は質問中にも書かれているように、１．は部分積分で、２．は置換積分で計算します。
（１．の中で、さらに置換積分が必要となる部分はありますが）

部分積分は「積の積分」ということですから、何と何の積かをまず見極めるところからですね。
(1) xと e^(2x)
(2) xと sin(2x)
(3) log(x)と 1/(x^3)
(4) 1と log(1+x) （1が積として隠れているというのは、ただの log(x)の積分でも使いますね。）

置換は置き換えですので、まとまると楽だなあってところを置き換えてみてください。

回答No.1

info22_

教科書や参考書で最低限調べて自助努力の解答を作って補足に書き、
そこの中の何処で行き詰ってわからないかを質問下さい。

部分積分、置換積分で積分するだけです。

1(1)
{xe^(2x)}'=e^(2x)+2xe^(2x)=(1/2){e^(2x)}'+2{xe^(2x)}
{xe^(2x)}=(1/2){xe^(2x)}'-(1/2){e^(2x)}'
∫xe^(2x)dx=(1/2)xe^(2x)-(1/2)e^(2x) + C
={(x-1)/2}e^(2x) + C

1(2)
{xcos(2x)}'=cos(2x)-2xsin(2x)
=(1/2){sin(2x)}'-2{xsin(2x)}
xsin(2x)=(1/4){sin(2x)}'-(1/2){xcos(2x)}'
∫xsin(2x)dx=(1/4)sin(2x)-(1/2)xcos(2x) + C

1(3)
{(logx)/(x^2)}'=(1/x^3)-2logx/(x^3)
=-(1/2)(1/x^2)'-2{logx/(x^3)}
{logx/(x^3)}=-(1/2){(logx)/(x^2)}'-(1/4)(1/x^2)'
∫logx/(x^3)dx=-(1/2){(logx)/(x^2)}-(1/4)(1/x^2) +C

1(4)
{xlog(1+x)}'=log(1+x)+x/(1+x)=log(1+x)+1-{1/(x+1)}
log(1+x)={xlog(1+x)}'-1+{1/(x+1)}
∫log(1+x)dx=xlog(1+x)}-x+log(1+x) +C
=(x+1)log(1+x) -x +C

2(1)
t=2x+1 で置換積分

2(2)
t=x^2 で置換積分

2(3)
式が
∫x(e^(－x^2)) dx
と間違っていませんか？
そうであれば
t=x^2 で置換積分
∫x{e^(-x^2)}dx=-(1/2)e^(-x^2) +C

2(4)
t=cosx で置換積分

2(5)
これは部分積分の問題ではないですか？