虚数iが分かりません

質問

虚数iの物理的な解釈法を教えてください。

補足
虚数iについて
・二乗すると-1になる
・オイラーの公式のi
などの数式のイメージならできるのですが、物理的な解釈がイマイチできません。

回答No.10

uchida_job_ok

x軸（直線）を考えます。長さがあるので、実数を意味します。
x軸上のある点で、x軸に垂直な平面を考えます。

この平面上で、x軸を中心に、半径０の回転を考え、
1回転、2回転、3回転・・・と考えます。
また、反対向きに、1回転、2回転、3回転・・・と考えます。

すると、どうでしょう、いくら回転しても、このx軸上の点から
1歩も移動しないので、この回転の回数は、虚数とみなすことが
できます。

虚数は、実は、身近なところにあったのです。

以上

回答No.9

kentaurino

#3です。

便宜的に使われていると言われた件について。

虚数を使って表されている法則は虚数を使わずに表すこともできます。
そのどちらの姿が、より本物であるとか本質的であるとかいうことはない、
という考えに基づき、便宜上使用していると回答しました。
そうは思わない人も中にはいるらしいことを補足しておきます。

回答No.8

touan

数学的裏付けはまったくありません。完全に私の頭の中での概念です。

３次元でも４次元でもよいのですが、…
ブラックホールの存在は認められていますね。
一旦取り込まれると、物質（物体）は二度と放出（開放）されることはない。サイズは「０」

でも、どんどんブラックホールに物質が取り込まれれていくと…
やがては、別の世界が現れる。

いわゆる２次元のXY座標をイメージしてください。
X軸に位置するのが現在の世界。
Y軸に位置するのが上記「別の世界」
このY軸が虚数軸です。

繰り返します。完全に私の概念です。理論的裏付けはまったくありません。「何故？」と言われても答えられないのですが、虚数に対する私の物理的解釈です。

お礼

ありがとうございます。
touanさんのご回答が一番しっくりきました。

回答No.7

sanori

お礼をありがとうございました。

すいませんが、誤記がありましたので訂正させてください。

【阿呆】
なぜｊを使うかといえば、
sin（ωｔ＋α）をｔで微分したらcos（ωｔ＋α）、
cos（ωｔ＋α）をｔで微分したら－sin（ωｔ＋α）、
とするよりも、
三角関数の代わりに、ｅ^(ｊωｔ）を用いれば、
・１回微分するのとｊをかけるのは同じ。（位相が９０度ずれる）
・２回微分するのと－１をかけるのは同じ。（位相が１８０度ずれる）
-------------

【訂正後】
なぜｊを使うかといえば、
sin（ωｔ＋α）をｔで微分したら　ω・cos（ωｔ＋α）、
cos（ωｔ＋α）をｔで微分したら　－ω・sin（ωｔ＋α）、
とするよりも、
三角関数の代わりに、ｅ^(ｊωｔ）を用いれば、
・１回微分するのとｊωをかけるのは同じ。（位相が９０度ずれる）
・２回微分するのと－ω^2をかけるのは同じ。（位相が１８０度ずれる）
-------------

ちなみに、
「虚数は理解や計算の上で便宜的に使われているということは分かりました。」
とのコメントをいただきましたが、
前回回答の２番と４番（量子力学）については、虚数というものは便宜的に用いられているのではなく、
本質的に、かつ、必然的に備わっているとするのが、正しい考え方です。
量子力学を学ぶと最初に習うシュレーディンガー方程式でさえ、こうです。
http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity/contents/relativity304.html

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

また、
ファインマンの経路和については、この記事の右の図がイメージの一例です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%8C%E8%B7%AF%E7%A9%8D%E5%88%86
秒針しかないストップウォッチを想像してください。
経路の道のりが長いほど、時間ｔは長いですから、秒針はたくさん回ります。
そして、目的地に到着したときの秒針の向きこそが、ベクトルの向きです。
具体的には、ｅ^(ｉωt＋α) ＝ cos（ωｔ＋α）＋ ｉ・sin（ωｔ＋α）　なので、
ベクトルの成分は、（ｘ、ｙ）＝（cos（ωｔ＋α）、sin（ωｔ＋α）　です。
これで１つの経路についてのベクトルを求めたことになるので、ほかの経路についてもベクトルを計算して、それらのベクトルをどんどん足していくということになります・・・
・・・って、こういう説明をすると、かえって深みにはまりますかね（笑）

またも乱筆で失礼しました。

回答No.6

sanori

＃１の回答者です。補足をありがとうございました。

＞＞＞位相の時間変化を表す数式以外で見ることがないように思えます。

ひとえに「位相の時間変化」とは言っても、色々あるのですが・・・

１．
交流回路において、
・インダクタンスＬのインピーダンスは、ｊωＬ
・容量（キャパシタンス）のインピーダンスは、１／（ｊωＣ）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%BC%E3%83%80%E3%83%B3%E3%82%B9
（電気工学では電流のシンボルにｉを使うので、その隣のｊを虚数単位の記号としています。）
なぜｊを使うかといえば、
sin（ωｔ＋α）をｔで微分したらcos（ωｔ＋α）、
cos（ωｔ＋α）をｔで微分したら－sin（ωｔ＋α）、
とするよりも、
三角関数の代わりに、ｅ^(ｊωｔ）を用いれば、
・１回微分するのとｊをかけるのは同じ。（位相が９０度ずれる）
・２回微分するのと－１をかけるのは同じ。（位相が１８０度ずれる）
ということで、計算が簡単になり、微積分も複素指数関数も知らない人でも計算ができるようになります。
「物理的」というよりは、便利ツールとしての虚数単位です。
このような「意味のない虚部を付け足すことによって計算を簡単にする」という手法は、電気回路の計算以外でも使われます。

２．
量子力学で「経路積分」（ファインマンの経路和）というものが登場します。
完全な真空中に２つの地点Ａ、Ｂがあるとします。
そして、Ａから光を発するとします。
すると、光は直進するので、Ｂから見たとき、正確にＡ１点の方向から光がやってくるように観測されます・・・・・
・・・・・というのは、古典的な考え方です。
ＡからＢへは、あらゆる経路を辿って光が進みます。
カーブ、シュート、フォークの経路、いったんＡの後ろに行ってから大回りでやってくる経路等々、無限に存在します。
ですから、ＢからＡまでは、光があらゆる方向からやってきます。
しかし、実際には、（ほぼ）Ａの方向からやってくるように見えます。
これは、各経路の道のりにかかる時間をｔ1、ｔ2、ｔ3、・・・と置いたとき、
ｅ^(iωｔ1) ＋ｅ^(iωｔ2) ＋ｅ^(iωｔ3) ＋・・・
と足していくと、（文章だとわかりづらいですが）
これは、二次元のベクトルをどんどん足していくのと同じことになります。
傾向としては、
・曲がった経路のｅ^(iωｔn)同士は相殺され、
・直進に近い経路のｅ^(iωｔn)同士は強め合い
ます。
その計算の結果、Ｂには（ほぼ）Ａの方向からだけ光がやってくるように見えます。
しかし、ＡとＢの距離に比べて光の波長が十分短くないと、Ｂからは、Ａの方向からだけでなく、その上下左右からの光も来ているように見えます。
すなわち、「ぼけて」見えるわけです。
これは、「光の回折」を表します。
ブルーレイ（青色発光ダイオード）だと１枚のディスクに書き込める情報が多いのは、「ぼけ」が小さいからです。
また、直進経路に障害物があるにもかかわらず携帯電話が使えたりラジオを聴くことができたりするのは、「変化球」の経路で届く電波があるからです。

ちなみに、ＣＤ、ＤＶＤの裏面を見ると虹のように色が見えますが、これは、ディスクの溝が「回折格子」になっているからです。
これも、経路積分から説明することができます。

３．
「複素屈折率」というのがあります。
http://www.photal.co.jp/book/maku_01_04.html
この考え方を使うと、不透明な媒質の中を進む光について、位相の変化と減衰とをまとめて計算できるので便利です。

４．
「虚数時間」という概念が提唱されています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%82%E9%96%93#.E8.99.9A.E6.95.B0.E6.99.82.E9.96.93
この考え方を導入することにより、宇宙の始まり（ビッグバンより前）において「特異点」という忌まわしいものの存在が解消できるとのこと。
http://www.icepp.s.u-tokyo.ac.jp/docs/kouen_satou.pdf
（１６、１７枚目のスライドを参照）

なお、ほかの回答の中で複素平面への言及がありますが、
それを応用すると、
・１の２乗根は、ｅ^(2πi・0/2)、ｅ^(2πi・1/2)
・１の３乗根は、ｅ^(2πi・0/3)、ｅ^(2πi・1/3)、ｅ^(2πi・2/3)
・１の４乗根は、ｅ^(2πi・0/4)、ｅ^(2πi・1/4)、ｅ^(2πi・2/4)、ｅ^(2πi・3/4)

それぞれ計算すると、
（半径１の円を描けば、図解でも求まりますが）
・１の２乗根は、１、　－１
・１の３乗根は、１、　（－１ ＋ √３・ｉ）／２、　（－１ － √３・ｉ）／２
・１の４乗根は、１、　ｉ、　－１、　－ｉ

以上、雑多な書き方ですみませんが、ご参考になりましたら幸いです。

お礼

詳しいご説明、ありがとうございます。

私が知らなかっただけで、虚数は物理学でも色々な場面で使われているんですね。経路積分、複素屈折率、虚数時間については、正直理解しかねましが、虚数は理解や計算の上で便宜的に使われているということは分かりました。

回答No.5

apple-man

＞物理の教科書の中では、位相の時間変化を表す数式以外で見ることがないように思えます。

　その位相とは、電流と電圧の位相差なんかですよね。

物理学の中で虚数が出てきたら、それは★(1)「切り離して
考えることが出来ない、２つの物理量を表しています。」

＞・二乗すると-1になる

　★(2)「虚数は実数ではないというのは、そこに関係する
物理量が、単独で測定できないことを意味しています。」

　電気回路などには、簡単に電圧５Ｖとかなって
いますが、電圧を測定しようとすると、必ず
（たとえどんなに微小でも）電流が流れて、
それによる電圧降下が生じ、電圧に真の値は
測定できません。
　つまり、本当の意味で、電圧だけ単独で
測定できないんです。
　これは電磁気学的現象というものが、
電圧ー電流、電界ー磁界の組み合わせ
のように、常に２つの物理量がついになって
起こるものだからです。

＞位相の時間変化を表す数式以外で見ることがないように思えます。

　それは、専攻されている機械工学という分野が、
流体力学、熱力学、材料力学、電磁気学といった
１９世紀までにほぼ完成した、いわゆる古典力学と呼ばれる
物理学をベースにしている分野だからだと思います。

　物理学の発展は、２０世紀前半の量子力学、相対性理論と
いった現代物理学から、２０世紀後半のポスト現代物理学と
呼ばれる一連の物理学の発展があり、これらの分野では
虚数の幾何学的的特長（複素数平面に描けば、まず
２次元幾何学の対象になる。そしてもっと高次元の
応用が考えられる。）を応用しています。

　機械工学でも、量子力学の基礎はかじっていると
思いますが、その範囲で言うと、「波動関数」です。

　波動関数は複素数で、それ単独では測定できる
物理量ではありませんが、複素共役の関係にある
２つの波動関数を掛け合わせると、スリットを通過した
後の電子の干渉縞のように、「確率振幅」という
測定可能な物理量になります。

　２回かけるとー１という実数になるというのは、
２回かけると測定可能な物理量になるという
理論に応用されているのですが、その
虚数部分、つまり測定不可能な物理量というのが
いったい何なのか（波動関数以外にもいろいろ
あります）が謎のようです。

回答No.4

ruto

>物理的な解釈がイマイチできません.
実数ａを考えて、これに横軸上にａをプロットします。iを掛けるとi・aとなり、これは縦軸上にaをプロットします。次にi・aにiを掛けると－aなので横軸上に－aをプロットします。・・・このようにiを掛ける毎に90度進みます。iを4回掛けると元に戻ります。
　だからiは実数に対し９０度進んだ位相を表します。

回答No.3

kentaurino

虚数は数学の概念なのでそれを物理的に解釈は出来ないでしょう。
物理現象の解析時に便宜上使うと楽になることがあるというだけ

回答No.2

mcurry

i=exp(iπ/2)

ベクトルっぽく考えるなら、
i倍するとは、
複素数平面において、９０度の回転
じゃないかなぁと思う。

回答No.1

sanori

こんばんは。

よろしければ、以下、補足してください。

・あなたは、何の学校の何の専攻の何年生？

・具体的に、受けている授業の何についてつまづいている？
　（それとも、授業とは関係なく、独自に勉強している？）

・「解釈がイマイチできません。」ということは、少しは解釈できるということですよね。そのことも補足にどうぞ。

では、お待ちしております。

補足

ありがとうございます。以下補足です。

・私は工学部機械科4年です。

・私の虚数への理解についてですが、教養の数学で扱われた範囲（正則関数、留数など）程度なら分かります。
正確には、分かるというより、その範囲の演習問題は大体出来る、という感じです。

・虚数は数学の教科書の中ではちらほら現れるのですが、物理の教科書の中では、位相の時間変化を表す数式以外で見ることがないように思えます。
これがきっかけで、虚数が数学以外でどんな使われ方をしているのか、どんな物理的意味があるのか考えるようになりました。
自分では答えが出なかったので質問させていただきました。