積分

質問

∫(1/(1+(x^2)))dx
=arctan(x)

ということから置換積分を用いて
t=ixとおいて
dx/dt=-i

∫(1/(1-(x^2)))dx
=∫(1/(1+(t^2)*(-i)))dt
=-i*∫(1/(1+(t^2)))dt
=-i*arctan(t)
=-i*arctan(ix)

となってしまいました。

最初の式には、虚数単位がなかったのですが、
結局、虚数単位が二ヶ所出てきました。

この式は複素関数なのでしょうか。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

虚数単位がでてきますが、値は実数になります。
複素関数としてのarctanは、複素関数としての対数関数を用いて、
arctan(z)=(1/2i){log(1+iz)-log(1-iz)}
のように表わされます。
ここでz=ixとして計算すると、
-i*arctan(ix)=(1/2){log(1+x)-log(1-x)}
となります。
これは、
1/(1-x^2)=(1/2){1/(1+x)+1/(1-x)}
と変形して積分したものと一致します。

三角関数、逆三角関数、指数関数、対数関数などの複素関数として
の定義は関数論の本などでご確認を。

ここで書くと非常に長くなりますし、正確に説明する自信もありま
せん・・・

お礼

回答ありがとうございます。
実数になるんですね。

回答No.3

rabbit_cat

＃２様のとおり、
-i*arctan(ix) = 1/2{ log(1+x) - log(1-x) }
と書けます。
実際、もとの積分で、部分分数分解を用いれば、直接この形がでてきます、

お礼

アドバイスありがとうございます。

回答No.2

noname#101087

(実・逆)双曲線関数(対数関数で表現可)になると思います。

お礼

アドバイスありがとうございます。