集合位相です。

質問

定理の証明なんですが、
ｆが単射ならば、ｆ(Ａ１＼Ａ２)＝ｆ(Ａ１)＼ｆ(Ａ２)
を示す問題です。
(∈＼は、１つの記号と考えてください≠みたいな感じで重ねて・・・見つからなかったのですいません)

ｙ∈ｆ(Ａ１＼Ａ２)
⇔∃ｘ：(ｘ∈Ａ１＼Ａ２)∧(ｆ(ｘ)＝ｙ)
⇔∃ｘ：((ｘ∈Ａ１)∧(ｘ∈＼Ａ２))∧(ｆ(ｘ)＝ｙ)
⇔∃ｘ：((ｘ∈Ａ１)∧ｆ(ｘ)＝ｙ)∧((ｘ∈＼Ａ２)∧ｆ(ｘ)＝ｙ)
⇔(∃ｘ：(ｘ∈Ａ１)∧(ｆ(ｘ)＝ｙ))∧(∃ｘ：(ｘ∈＼Ａ２)∧ｆ(ｘ)＝ｙ))・・・(1)
⇔y∈(ｆ(Ａ１))∧(ｙ∈＼ｆ(Ａ２)・・・(2)
⇔ｙ∈ｆ(Ａ１)＼ｆ(Ａ２)
＝右辺。
とやったのですが、(1)から、(2)にいく時に、
アンドの前部分はいいけれども、後ろ部分は証明されて無いだか
何とかで、その証明をするようにと言われました。
なんですが、考えても分からず、参考書を見ても書いていないんです(>_<)
探し方が悪いのかもしれませんが・・・。
集合位相は、あんまり理解できていなくて、
この問題も、他の定理の証明を真似してやっただけなので、
違うよといわれても何が何だか・・・。
更に、これが成り立たない例もあげるようにといわれてしまって・・・
すいませんが教えてください↓↓

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

私が前の回答で述べたことを書けばｆ(Ａ１＼Ａ２)⊂ｆ(Ａ１)＼ｆ(Ａ２)の証明になります。証明を完成させるには
　ｆ(Ａ１＼Ａ２)⊃ｆ(Ａ１)＼ｆ(Ａ２)
も示す必要があります。ｙ∈ｆ(Ａ１)＼f(Ａ２)とすると、ｆは単射だから{y}の原像はただ一つの元からなり、これをｘとすると、y∈f(Ａ1)よりｘ∈Ａ1。また、ｘ∈Ａ２とするとy∈f(Ａ２)となって矛盾するからｘ∈＼Ａ２。よって
ｘ∈Ａ１＼Ａ２なのでy∈ｆ(Ａ１＼Ａ２)
となって証明が完成します。

お礼

２度もありがとうございます☆
ホント助かりました↓
成り立たない例も考えてみようと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.2

grothendieck

fが単射をどこで使うかを考えましょう。
　∃ｘ∈＼Ａ２、ｆ(ｘ)＝ｙ
のとき、∃ｘ'∈Ａ２,ｆ(ｘ')＝ｙであるとするとｆが単射であることと矛盾。したがって
　ｙ∈＼ｆ(Ａ２)
というのが(1)と(2)の間に入る証明です。一方、ｆが単射でも
　ｙ∈＼ｆ(Ａ２) ⇒ ∃ｘ∈＼Ａ２、ｆ(ｘ)＝ｙ
は成立しません。例：f(x)=Arctan x，y=3とすると、A2をどのようにとってもf(x)=yとなるｘは存在しません。

回答No.1

noname#108554

この証明ではfの単射性をつかってませんね?

>これが成り立たない例もあげるように

したがって、fが単射でないものを考えてみましょう。

お礼

＞この証明ではfの単射性をつかってませんね?
そうなんですよ。先生にも言われました。
問題にも単射ならばって書いてあるのに(^-^;)
ありがとうございます☆