集合と位相の教科書

質問

以下のような問題を解けるようになりたいです。できるだけやさしい教科書、参考書、問題集を教えてください。問題集は解説が詳しいものがいいです。

1.集合X,Yと、Xの部分集合A,Yの部分集合Bについて次の等式を証明せよ

X×YーA×B=[(X-A)×Y]∪[X×(Y-B)]

2.デデキンドの切断を用いて
２および√５を切断をもちいて表せ
２＜√５を切断をもちいて証明せよ

3.sorgenfrey直線Sのなかの２つの部分集合A,Bについてnot(A∩B)≠notA∩notBとなるようなA,Bの例をあげ、その理由を説明せよ

４.命題p_nを-nより小さい、命題q_nをｎより大きいとさだめ、Rの部分集合An={x∈R：(p_n∨q_n)(x)が真｝とおくとき、
∪{An:n∈N}
∩{An:n∈N}
をもとめよ

５．{a_n}^∞_(n=1)をQのなかのコーシー列とする。bn=a_n+1/2n(n=1,2,...)とおくとき
{bn}^∞_(n=1)はQのなかのコーシー列であることを証明せよ
{a_n}^∞_(n=1)～{bn}^∞_(n=1)（同値）であることを証明せよ

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

1.
(x,y)∈X×Y-A×B
←→
x∈X-A.or.y∈Y-B
←→
(x,y)∈[(X-A)×Y]∪[X×(Y-B)]
∴
X×Y-A×B=[(X-A)×Y]∪[X×(Y-B)]

2.
Q=(全有理数)に対して
φ≠A≠Q
A⊂Q
∀(a,b)∈A×(Q-A)→a<b
となるとき
(A,(Q-A))
をQに対するDedekindの切断という
Qに対するDedekindの切断(の下組)の集合
D={A⊂Q|φ≠A≠Q,(∀(a,b)∈A×(Q-A)→a<b),supAがあればsupA∈A}
を[実数]の集合と定義する
Dに対して
+:D×D→D,A∈D,B∈D→A+B={a+b|a∈A,b∈B}
O={x∈Q|x≦0}
*:D×D→D,A∈D,B∈D
→A*B={x∈Q|a∈Q-A,b∈Q-B,B⊂Oのとき-a∈A,A⊂Oのとき-b∈B→x≦a*b}
のように演算+,*を定義する
A∈D,B∈Dに対して、A⊂B のとき　A≦B とDの順序≦を定義する
f:Q→D,a∈Q,f(a)={x∈Q|x≦a}
とするとfは単射準同型だから
a∈Q　と　{x∈Q|x≦a}　が同一視でき
[a]={x∈Q|x≦a} と表すから

[2]={x∈Q|x≦2}

A={x∈Q|(a∈Q)&(0<a)&(5<a^2)→x≦a}とすると
x∈O,(a∈Q)&(0<a)&(5<a^2)→x≦0<a→x<a→x∈A→O⊂A
x∈{x∈Q|x≦5},b∈Q-A,c∈Q-A→x≦5,0<a_1<b,5<a_1^2,0<a_2<c,5<a_2^2
→x≦5<a_1a_2<bc→x∈A*A→{x∈Q|x≦5}⊂A*A
x>5と仮定する→5<a^2<b^2<xとなる0<a<b∈Qがある
→b∈Q-A→x∈Q-A*A→A*A⊂{x∈Q|x≦5}
→A*A={x∈Q|x≦5}=[5]

→[√5]=A={x∈Q|(a∈Q)&(0<a)&(5<a^2)→x≦a}

x∈[2]={x∈Q|x≦2}
(a∈Q)&(0<a)&(5<a^2)
→
x<0のときx<0<a→x∈[√5]
x≧0のとき0≦x^2≦4<5<a^2→(x-a)(x+a)≦0
x+a>0→x≦a→x∈[√5]
→[2]⊂[√5]
4<(2.1)^2=4.41<5
2.1∈[√5]-[2]≠φ
[2]≠[√5]だから
[2]<[√5]
∴
2<√5

3.
A={0}
B=(0,1)
とすると
cl(A∩B)=A∩B=φ
0∈∀V開⊂Sに対して
∃ε>0(0∈[0,ε)⊂V)
∃x∈[0,ε)∩B⊂V∩B≠φ
0∈cl(B)⊂A∩cl(B)⊂cl(A)∩cl(B)⊂cl(A)∩cl(B)≠φ
∴
cl(A)∩cl(B)≠cl(A∩B)

4.
p_n(x)=(x<-n)
q_n(x)=(x>n)
A_n={x∈R:(x<-n)∨(x>n)}
∪{An:n∈N}={x∈R:(x<-1)∨(x>1)}
∩{An:n∈N}=φ

5.
∀ε>0→∃n_0(ε)(∀m≧n>n_0→|a_m-a_n|<ε)
∃n_1>max(n_0(ε/2),2/ε)
∀m≧n>n_1→
|b_m-b_n|=|a_m+1/(2m)-a_n-1/(2n)|
≦|a_m-a_n|+|1/(2m)-1/(2n)|
<(ε/2)+(1/n_1)
<ε
→∴{b_n}_{n∈N}はコーシー列

∀ε>0→∃n_0>1/ε
∀n>n_0
|a_n-b_n|=|1/(2n)|<1/n_0<ε
→∴{a_n}_{n∈N}と{b_n}_{n∈N}は同値

集合・位相入門(松坂和夫著)
解析概論(高木貞治著)