集合と写像

質問

集合と写像に関する証明で，そうなるということはわかっているのですが，どのように証明すれば良いかわかりません。
問題は
集合Ｘから集合Ｙへの写像f:X→Yによる像に関して，以下を示せ。
(1) 任意の部分集合A,B⊂Xに対して，f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)
(2) fが単射であるならば，任意の部分集合A,B⊂Xに対して，
　　f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つ
(3) Xの任意の部分集合A,B⊂Xに対して，f(A∩B)=f(A)∩f(B)が成り立つならば
　　fは単射である。
どなたか解説お願いします。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

(1)
任意に x ∈ f(A∩B) を取り，x ∈ f(A)∩f(B) を確認すれば十分です．
x ∈ f(A∩B) なので，ある c ∈ A ∩ B が存在して x = f(c)
c ∈ A∩B なので特に c ∈ A, よって x = f(c) ∈ f(A)．
同様に x = f(c) ∈ f(B)．よって x ∈ f(A)∩f(B)．

(2)
両側の包含関係を確認します．⊂は(1)で示しました．⊃についても
任意に x ∈ f(A)∩f(B) を取り，x ∈ f(A∩B) を確認すれば十分です．
x ∈ f(A)∩f(B) なので，ある a ∈ A, b ∈ B が存在して x = f(a) = f(b)
f が単射なので a = b，よって特に a ∈ A∩B．よって x = f(a) ∈ f(A∩B)．

(3)
任意の a, b (a ≠ b) について A = {a}, B = {b} とおくと，
この等式は f(A∩B) = φ = f(A)∩f(B) = {f(a)}∩{f(b)}
となります．これが成り立つためには f(a) ≠ f(b) でなければならず，
f は単射となります．

お礼

詳しい説明ありがとうございました!!